[論文レビュー] Can non-local correlations be discriminated in polynomial time?

A. Montina, Stefan Wolf|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ベル不等式の最適な局所性境界を特定するオラクルにアクセスできるものと仮定して、与えられた非信号相関から局所多面体までのユークリッド距離を多項式時間で計算するアルゴリズムを提示する。数値実験では、測定数に応じて6乗まで多項式スケーリングを達成しており、ピトウスキーのNP完全性結果により非局所性の識別が計算的に困難であるという広く信じられている見解に反するものである。

ABSTRACT

In view of the importance of quantum non-locality in cryptography, quantum computation and communication complexity, it is crucial to decide whether a given correlation exhibits non-locality or not. In the light of a theorem by Pitowski, it is generally believed that this problem is computationally intractable. In this paper, we first prove that the Euclidean distance of given correlations from the local polytope can be computed in polynomial time with arbitrary fixed error, granted the access to a certain oracle. Namely, given a fixed error, we derive two upper bounds on the running time. The first bound is linear in the number of measurements. The second bound scales as the number of measurements to the sixth power. The former is dominant only for a very high number of measurements and is never saturated in the performed numerical tests. We then introduce a simple algorithm for simulating the oracle. In all the considered numerical tests, the simulation of the oracle contributes with a multiplicative factor to the overall running time and, thus, does not affect the sixth-power law of the oracle-assisted algorithm.

研究の動機と目的

• 非局所的相関が多項式時間で識別可能かどうかを調査し、広く信じられている非局所性識別が計算的に困難であるという見解に挑戦すること。
• 非局所性検出の重要なステップである、与えられた相関から局所多面体までの距離を効率的に計算するアルゴリズムの開発。
• 実際の多項式時間スケーリングを維持する確率的手法を用いて、アルゴリズムに必要なオラクルをシミュレートすること。
• さまざまな量子状態と測定設定において、アルゴリズムの性能とスケーラビリティをテストすること。

提案手法

• 非局所性問題を、凸最適化技術を活用して局所多面体からのユークリッド距離の最小化問題に再定式化する。
• ベル不等式の最適な局所性境界を計算するオラクルを仮定し、固定誤差のもとで多項式時間で距離を計算可能にする。
• 実行時間の2つの理論的上限を導出する：測定数に比例する線形上界と6乗上界であり、実際の実験では6乗上界が支配的である。
• 確率的オラクルシミュレーションを導入し、ランダム入力のサブセットで正しい答えを得られ、繰り返し試行により成功確率を保証する。
• オラクルシミュレーションをメインアルゴリズムに統合し、その実行時間寄与が乗法的要因として寄与することを示し、全体の6乗スケーリングを維持することを確認する。
• 高精度な距離評価を用いて、平面的およびランダムな測定を伴う最大もしくは非最大もつれ状態に対して数値的テストを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベル不等式の境界を特定するオラクルにアクセスできる場合、非信号相関から局所多面体までの距離を多項式時間で計算可能か？
• RQ2 ピトウスキーのNP完全性結果にもかかわらず、提案されたアルゴリズムは実際のところ多項式時間スケーリングを維持できるか？
• RQ3 オラクルシミュレーションのパフォーマンスは全体の実行時間にどのように影響するか？ そして、乗法的要因として維持可能か？
• RQ4 数値実験で観察された6乗スケーリング法則は、理論的上限と整合的か？
• RQ5 さまざまな量子状態と測定設定において、アルゴリズムは高精度で距離を正しく計算できるか？

主な発見

• オラクルにアクセスできるものと仮定すれば、アルゴリズムは任意の固定精度で、局所多面体からの距離を多項式時間で計算可能である。
• 理論的実行時間の上限は測定数の6乗に比例し、すべての数値的実験において線形上界を上回る。
• オラクルシミュレーションは全体の実行時間に乗法的要因として寄与し、オラクル支援ケースで観察された6乗スケーリングを維持している。
• 最大もつれ状態、非最大もつれ状態、およびランダム測定のすべてのテストケースで、アルゴリズムは所定の精度に収束した。
• 数値実験における実行時間のスケーリングは、理論的6乗法則と整合的であり、最大28測定までにわたり成立している。
• 測定数が28までの場合、ブルートフォースによる検証により、アルゴリズムは指定された精度内で一貫して正しい解を発見した。