[論文レビュー] Can one quantum bit separate any pair of words with zero-error?

Aleksandrs Belovs, J. Andrés Montoya+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ゼロエラーまたは有界エラーで異なる語のペアを分離する際の、量子およびアフィン有限オートマトン（QFAs および AfAs）の状態効率を調査する。2状態の QFAs は非決定的受理を用いて任意の語のペアを分離でき、ゼロエラーでも可能であると仮説を立てている。互いに素な有限言語に対しては、AfAs は1つの言語がシングルトンの場合に2状態でゼロエラー分離を達成し、一般の場合には 2^{|X|} 状態を要する。これは QFAs よりも効率的である。

ABSTRACT

Determining the minimum number of states required by a finite automaton to separate a given pair of different words is an important problem. In this paper, we consider this problem for quantum automata (QFAs). We show that 2-state QFAs can separate any pair of words in nondeterministic acceptance mode and conjecture that they can separate any pair also with zero-error. Then, we focus on (a more general problem) separating a pair of two disjoint finite set of words. We show that QFAs can separate them efficiently in nondeterministic acceptance mode, i.e. the number of states is two to the power of the size of the small set. Additionally, we examine affine finite automata (AfAs) and show that two states are enough to separate any pair with zero-error. Moreover, AfAs can separate any pair of disjoint finite sets of words with one-sided bounded error efficiently like QFAs in nondeterministic mode.

研究の動機と目的

• ゼロエラーで任意の異なる語のペアを分離するための、量子およびアフィン有限オートマトンの最小状態数を特定すること。
• 2状態の量子有限オートマトン（QFAs）が、任意の語のペアをゼロエラーで分離可能かどうかを調査すること。
• QFAs とアフィン有限オートマトン（AfAs）の状態効率を、互いに素な有限語集合の分離において比較すること。
• QFAs および AfAs における非決定的受理および有界エラーモードが、語の分離を含むプロミス問題において果たす役割を調査すること。
• 語のペアおよび有限言語を分離する状態効率の良いオートマトンの理論的境界と構成法を確立すること。

提案手法

• 実数の振幅とユニタリ遷移行列を用いた Moore-Crutchfield 量子有限オートマトン（MCQFAs）を用い、特定の語に対して受理状態での振幅がゼロで、他の語に対しては非ゼロとなる2状態の QFAs を構築する。
• 2状態の MCQFAs のテンソル積構成を用いて、複数の語上で並列実行をシミュレートし、有限集合 X と X に属さない任意の語を 2^{|X|} 状態で分離可能であることを実現する。
• AfAs における有界エラーの受理確率を低下させるために3状態のテクニックを適用し、追加の状態を追加せずに任意に小さい片側エラーを達成可能にする。
• 実数値、非負および負の遷移確率を用いるアフィン有限オートマトン（AfAs）を導入し、確率的または量子モデルよりも表現力の高い状態遷移を可能にする。
• アフィン変換が確率分布を保存し、非線形な状態進化を可能にすることを活用し、QFAs よりも効率的な分離を実現する。
• AfA の最初の状態の最終状態振幅を用いて、言語 X に属する入力と属さない入力を区別し、ゼロエラーまたは有界エラー分離を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2状態の量子有限オートマトン（QFAs）は、ゼロエラー確率で任意の異なる語のペアを分離可能か？
• RQ2 非決定的受理モデルを超えて、2つの量子状態のみで任意の語のペアをゼロエラーで分離可能か？
• RQ3 QFAs とアフィン有限オートマトン（AfAs）の間で、互いに素な有限言語の分離における状態複雑性はどのように比較されるか？
• RQ4 AfAs は、語のペアおよび有限言語を有界エラーまたはゼロエラーで分離する際、QFAs よりも効率的な状態複雑性を達成可能か？
• RQ5 QFAs および AfAs が有限集合 X を他のすべての語から分離するために必要な最小状態数は何か？ これは |X| にどのように依存するか？

主な発見

• 2状態の QFAs は、非決定的受理を用いて、任意の異なる語のペアを分離可能であり、ここでターゲット語に対しては受理振幅がゼロ、他のすべての語に対しては非ゼロとなる。
• 著者らは、2状態の QFAs が非決定的受理モデルを超えて、任意の語のペアをゼロエラーで分離可能であると仮説を立てており、特定の構成と対称性の証拠によって裏付けられている。
• 有限集合 X を他のすべての語から分離する場合、QFAs は非決定的受理モードで 2^{|X|} 状態を要し、最終状態振幅がゼロとなるのは入力が X に属する場合に限る。
• アフィン有限オートマトン（AfAs）は、2状態で任意の語のペアをゼロエラーで分離可能であり、QFAs よりも優れた状態効率を示している。
• |X| ≤ |Y| の場合、AfAs は 2^{|X|} 状態で、X と Y の互いに素な有限言語のペアを片側有界エラーで分離可能であり、X がシングルトンであればゼロエラーで分離可能である。
• 本稿では、X に属する入力を確率1で受理し、それ以外の入力を確率 2/3 以下で受理する 2^{|X|}-状態の AfAs を構築し、3状態のテクニックを用いてエラー確率を追加の状態を追加せずに任意に小さくできる。