[論文レビュー] Can quantum Monte Carlo simulate quantum annealing?

Evgeny Andriyash, M. H. S. Amin|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2017

Quantum and electron transport phenomena参考文献 1被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、量子モンテカルロ法（QMC）が量子アンケーリング（QA）を正確にシミュレートできるという考えに挑戦し、断念的トンネル効果が、ねじれによって複数のホモトピー非同値トンネル経路が存在する場合、QMCを上回ることを示している。WKB近似を超えた摂動論を用いて、著者らは、特定のねじれ系において、非干渉的トンネル効果がQMCに対して指数的優位性を示すことを実証した。これは、それまで仮定されていたQMCとQAのスケーリング同等性が、このような状況では成立しないことを示している。

ABSTRACT

Recent theoretical and experimental studies have suggested that quantum Monte Carlo (QMC) simulation can behave similarly to quantum annealing (QA). The theoretical analysis was based on calculating transition rates between local minima, in the large spin limit using WentzelKramers-Brillouin (WKB) approximation, for highly symmetric systems of ferromagnetically coupled qubits. The rate of transition was observed to scale the same in QMC and incoherent quantum tunneling, implying that there might be no quantum advantage of QA compared to QMC other than a prefactor. Quantum annealing is believed to provide quantum advantage through large scale superposition and entanglement and not just incoherent tunneling. Even for incoherent tunneling, the scaling similarity with QMC observed above does not hold in general. Here, we compare incoherent tunneling and QMC escape using perturbation theory, which has much wider validity than WKB approximation. We show that the two do not scale the same way when there are multiple homotopy-inequivalent paths for tunneling. We demonstrate through examples that frustration can generate an exponential number of tunneling paths, which under certain conditions can lead to an exponential advantage for incoherent tunneling over classical QMC escape. We provide analytical and numerical evidence for such an advantage and show that it holds beyond perturbation theory.

研究の動機と目的

• 量子モンテカルロ法（QMC）が、遷移率の類似性が主張される文脈において、本当に量子アンケーリング（QA）を正確にシミュレートできるかどうかを調査すること。
• QMCとQAの遷移率が同様にスケーリングされることを示唆した先行研究におけるWKB近似の妥当性を疑問視すること。
• 複数のトンネル経路が存在する場合、QAにおける非干渉的トンネル効果がQMCを上回る指数的優位性を示すかどうかを特定すること。
• QMCの古典的シミュレーションを上回るQAの性能が、前因子の違いを越えてどのような条件下で成立するかを特定すること。

提案手法

• 著者らは、大スピンWKB近似に依存しない低エネルギー部分空間における非摂動的摂動論を用いてトンネル率を分析した。
• 射影演算子PとP̄を用いて低エネルギー部分空間の有効ハミルトニアンを導出し、局在状態間のダイナミクスを分離した。
• Z₀とZ_Bの分配関数は、b₀（トンネル幅）およびその微分の級数展開を用いて計算され、高エネルギー状態を通るループ寄与を捉えた。
• 初期状態と最終状態を励起状態を介して接続するすべての経路について和を取ることで、複数のホモトピー非同値トンネル経路を明示的に扱った。
• 有効ハミルトニアンの2つの最小固有値を計算し、トンネル分裂gとエネルギーシフトE₀ + δE₀を抽出した。これらは分配関数を決定づける。
• 数値的証拠と自由エネルギー・分配関数の解析的表現を用いて、摂動論を超えた結果の妥当性を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QMCは、複数のトンネル経路が存在する系において、量子アンケーリング（QA）を正確にシミュレートできるか？
• RQ2 WKB近似によって得られたQMCと非干渉的トンネル効果のスケーリング類似性は、大スピン極限を超えて成立するか？
• RQ3 スピン系におけるねじれが、指数的数のトンネル経路を生成し、QAがQMCに対して指数的優位性を示すことは可能か？
• RQ4 複数のホモトピー非同値経路が存在する状況で、QMCとQAの遷移率の同等性は、頑健に保たれるか？
• RQ5 非干渉的トンネル効果が、QMCの古典的シミュレーションを上回る条件は何か？

主な発見

• 複数のホモトピー非同値トンネル経路が存在する場合、QMCと非干渉的トンネル効果の遷移率のスケーリングは一致せず、これにより先行のWKBに基づく結論が無効化された。
• ねじれは、特定の系において指数的数のトンネル経路を生成し、非干渉的トンネル効果がQMCを上回る指数的優位性をもたらす。
• 本研究で用いられた摂動論的手法により、一次近似のトンネル幅gが高次項によって再正規化され、g = b₀ / (1 − a′)（a′は自己エネルギーの微分）の形で与えられることが示された。
• 局所的分配関数Z₀と境界分配関数Z_Bは、b₀およびその微分の級数展開として導出され、励起状態を通るすべてのループ経路の寄与を捉えた。
• 数値的および解析的証拠により、非干渉的トンネル効果の指数的優位性が摂動的領域を超えて維持されることを確認した。
• 本研究は、一般にQMCがQAをシミュレートできないこと、特にトンネル経路の多様性が前因子を越えた量子優位性を可能にするねじれ系において顕著であることを示した。