[論文レビュー] Can you take Toernquist's inaccessible away?

Haim Horowitz, Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 2被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、ZF+DCにマッド族が存在しないモデルの存在がZFCと論理的同値であることを確立し、以前のTo"{e}rnquistの結果で必要とされたマーロ基数の仮定を排除した。ccc性質とアンマルゴレーション技術を持つ強制法の構成を用いて、著者たちはZFCの整合性のもとで、ZF+DC+"マッド族が存在しない"という条件を満たすモデルにおいて、マッド族の非存在を達成した。

ABSTRACT

We prove that ZF+DC+"There are no mad families" is equiconsistent with ZFC.

研究の動機と目的

• To"{e}rnquistの結果における大基数仮定（マーロ基数）を排除し、レヴィのモデルにおいてマッド族が存在しないことを示す。
• ZF+DC+"マッド族が存在しない"とZFCとの間の論理的同値性を確立し、マッド族の非存在の整合性の強度がZFCを超えないことを示す。
• ccc順序集合とアンマルゴレーションを用いた強制理論的枠組みを提供し、マッド族が存在しないモデルを構成する。
• ZF+DCモデルにおける最大の最終的に異なる族や最大の共有限群に関する未解決問題の解決に向けた基盤を築く。
• このような族が解析的であるか、あるいはレヴィのモデルのようなモデル内に存在するかを調査し、記述的集合論的独立性結果の範囲を拡張する。

提案手法

• MA_{\aleph_1} を強制するccc強制法のクラス $K$ を構成し、完全埋め込みに基づく部分順序 $\leq_K$ を備える。
• クラス $K$ のアンマルゴレーション性質を用いて、$\leq_K$-増加な連続な強制法の列を構築し、極限に関して閉じていることを保証する。
• $\leq_K$-増加列を用いた再帰的強制拡張の構成により、すべての可算集合がサイズ $\leq \sigma$ の1つの拡張に含まれることを保証する。
• 融合的議論を用いて、一般性を持つフィルターがcccおよび $MA_{\aleph_1}$ を保存することを保証し、マッド族が存在しないモデルの構成を可能にする。
• $MA_{\aleph_1}$ がすべてのccc強制法がKnasterであること（したがって積やアンマルゴレーションにおいてccc性が保存されること）を示す事実を用いる。
• 最終的なモデルにおいて、解析的または定義可能なマッド族が存在しないことを検証し、一般性と $MA_{\aleph_1}$-に基づく一般拡張に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZF+DCにマッド族が存在しないモデルの存在が、マーロ基数を仮定せずにZFCと論理的同値であるか？
• RQ2 ZFCの整合性仮定のみを用いて、ZF+DCにおけるマッド族の非存在を達成できるか？
• RQ3 ZF+DCのモデルにおいて、最大の最終的に異なる族や最大の共有限群が存在しないものがあるか？
• RQ4 最大の最終的に異なる族や最大の共有限群がZFCのもとで解析的である可能性はあるか？
• RQ5 ZF+DCのモデルにおけるマッド族の非存在の整合性の強度は何か？そしてZFCまで低下可能か？

主な発見

• ZF+DC+"マッド族が存在しない"の理論はZFCと論理的同値であり、マーロ基数の必要性が排除された。
• この構成は、$MA_{\aleph_1}$ を強制するccc強制法のクラス $K$ を用い、アンマルゴレーションおよび $\leq_K$-増加列に関して閉じている。
• サイズが $\mu$ より小さい任意の集合 $X$ に対して、$X \subseteq \mathbb{Q}$ かつ $|\mathbb{Q}| < \mu$ を満たす強制法拡張 $\mathbb{Q} \in K$ が存在する。これは、小さい集合に関して閉じていることを保証する。
• 強制法の構成により、一般拡張においてマッド族が存在しないことが保証される。これは、$MA_{\aleph_1}$ とccc性の保存に起因する。
• この方法により、すべての実数の部分集合がルベーグ可測であり、ベール性質を持つモデルを構成可能である。これはZF+DCと整合的である。
• この結果は、マッド族の非存在がZFCと整合的であり、したがってZFCを超える整合性の強度を必要としないことを示唆する。