[論文レビュー] Cancelation free formula for the antipode of linearized Hopf monoid

Nantel Bergeron, Carolina Benedetti|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、線形化されたホップモノイドの線形順序（L）と線形化されたホップモノイド H のハダマード積のアンチポードに対する、キャンセルフリーで多重性フリーな公式を提示する。これにより、H から導かれる組合せ的ホップ代数におけるアンチポードの新たな公式が可能になる。主な貢献は、超グラフの無環有向グラフを用いた構造的枠組みであり、スターンリーの (-1)-色分け定理や彩色多項式に類似した恒等式を導出する。応用は置換や q-変形に及ぶ。

ABSTRACT

Many combinatorial Hopf algebras $H$ in the literature are the functorial image of a linearized Hopf monoid $\bf H$. That is, $H={\mathcal K} ({\bf H})$ or $H=\overline{\mathcal K} ({\bf H})$. Unlike the functor $\overline{\mathcal K}$, the functor ${\mathcal K}$ applied to ${\bf H}$ may not preserve the antipode of ${\bf H}$. In this case, one needs to consider the larger Hopf monoid ${\bf L} imes{\bf H}$ to get $H={\mathcal K} ({\bf H})=\overline{\mathcal K}({\bf L} imes{\bf H})$ and study the antipode in ${\bf L} imes{\bf H}$. One of the main results in this paper provides a cancelation free and multiplicity free formula for the antipode of ${\bf L} imes{\bf H}$. From this formula we obtain a new antipode formula for $H$. We also explore the case when ${\bf H}$ is commutative and cocommutative. In this situation we get new antipode formulas that despite of not being cancelation free, can be used to obtain one for $\overline{\mathcal K}({\bf H})$ in some cases. We recover as well many of the well-known cancelation free formulas in the literature. One of our formulas for computing the antipode in ${\bf H}$ involves acyclic orientations of hypergraphs as the central tool. In this vein, we obtain polynomials analogous to the chromatic polynomial of a graph, and also identities parallel to Stanley's (-1)-color theorem. One of our examples introduces a {\it chromatic} polynomial for permutations which counts increasing sequences of the permutation satisfying a pattern. We also study the statistic obtained after evaluating such polynomial at $-1$. Finally, we sketch $q$ deformations and geometric interpretations of our results. This last part will appear in a sequel paper in joint work with J. Machacek.

研究の動機と目的

• ファンクター K が線形化ホップモノイド H のアンチポードを保存しない可能性があるという問題を解決し、L×H の使用を必要とする。
• L×H のアンチポードに対するキャンセルフリーで多重性フリーな公式を構築し、組合せ的ホップ代数におけるアンチポード計算の新たな枠組みを提供する。
• H が可換かつコアブレーシブである場合を扱い、特に超グラフのホップモノイドが普遍的構造としての役割を果たすことに焦点を当てる。
• スターンリーの (-1)-色分け定理および彩色多項式の恒等式を、超グラフおよび置換へと一般化する。
• q-変形および超グラフィカル・ネストヘドロンを用いたアンチポード公式の幾何的解釈の基盤を築く。

提案手法

• ハダマード積 L×H を用いることで、ホップ代数の構造を種の圏におけるホップモノイドに持ち上げ、アンチポードの保存を保証する。
• 超グラフの無環有向グラフを核心的な組合せ的道具として用い、L×H のキャンセルフリーなアンチポード公式を構築する。
• 超グラフおよび置換に対して、彩色に類似した多項式を定義し、パターン条件を満たす増加列を数える。
• t = -1 での評価を適用し、スターンリーの (-1)-色分け定理に類似した恒等式を導出する。
• ファンクター K 及びその変種 K̄ を用いて、L×H におけるアンチポードを K(H) 及び K̄(H) におけるアンチポードと関連づける。特に可換かつコアブレーシブな場合に注目する。
• グアイ＝パシェの構成を模倣して、L×G におけるコマルティプリケーションの q-変形を導入し、彩色多項式の q-アナローグを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K(H) が H のアンチポードを保存しない場合に、ハダマード積 L×H に対してキャンセルフリーなアンチポード公式をどのように構築できるか。
• RQ2 超グラフの無環有向グラフが、アンチポード公式の導出およびスターンリーの (-1)-色分け定理の一般化に果たす役割は何か。
• RQ3 置換に対して彩色に類似した多項式を定義できるか。また、t = -1 での評価は何かを数えているか。
• RQ4 L×G におけるコマルティプリケーションの q-変形は、彩色多項式の q-アナローグおよびアンチポード公式とどのように関係するか。
• RQ5 アンチポード情報がホップモノイドの超グラフにどのようにエンコードされているか。特に、ネストヘドロンなどの幾何的または多面体的構造（例：ネストヘドロン）は何か。

主な発見

• 線形化ホップモノイド H に対して、ハダマード積 L×H のキャンセルフリーで多重性フリーなアンチポード公式が確立された。
• K(H) のアンチポードは L×H のアンチポードから導出され、組合せ的ホップ代数におけるアンチポード計算の新たなフレームワークが提供された。
• 可換かつコアブレーシブな H に対して、超グラフのホップモノイド HG は、すべての such H のアンチポードを計算可能な普遍的構造として機能する。
• 置換に対する彩色多項式が導入され、与えられたパターンを満たす増加列を数える。t = -1 での評価は、特定の無環有向グラフの符号付き数を返す。
• t = -1 での評価により、超グラフの設定においてスターンリーの (-1)-色分け定理が回復され、グラフの場合の一般化が達成された。
• 本稿は、q-変形および超グラフィカル・ネストヘドロンによるアンチポード公式の幾何的解釈の基盤を築いた。今後、J. Machacek との続編でさらに検討される予定である。