[論文レビュー] Cancellation properties in ideal systems: an $\boldsymbol{e.a.b.}$ not $\boldsymbol{a.b.}$ star operation

Marco Fontana, K. Alan Loper+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2010

Rings, Modules, and Algebras参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、整域上のスター作用素に関して、ギルマーのe.a.b.（endlich arithmetisch brauchbar）キャンセレーション条件が、クラウルのa.b.（arithmetisch brauchbar）条件よりも厳密に弱いことを示している。先行例からの構成を修正することで、e.a.b.キャンセレーションを満たすがa.b.キャンセレーションに失敗するスター作用素を構成し、両条件が一般には同値でないことを証明している。

ABSTRACT

We show that Krull's exttt{a.b.} cancellation condition is a properly stronger condition than Gilmer's exttt{e.a.b.} cancellation condition for star operations.

研究の動機と目的

• 乗法的イデアル論における2つのキャンセレーション条件、クラウルのa.b.とギルマーのe.a.b.の論理的関係を明確化すること。
• e.a.b.がスター作用素においてa.b.を含意する可能性があるという、先行文献における曖昧さを解消すること。
• e.a.b.がスター作用素においてa.b.を含意しないことを示す反例を構成すること。
• 特定の非ネーター整域において、$t$-作用素および関連するスター作用素がe.a.b.条件を完全に捉えていないことを示すこと。
• $t$-作用素と、e.a.b.ではあるがa.b.でない新しいスター作用素との違いを明確化すること。

提案手法

• 非ネーターなUFD $D = k[X_1,X_2,...]_N$ を、極大イデアル $N = (X_1,X_2,...)$ で局域化する。
• 各 $x,y,z \in K \setminus \{0\}$ および $F \in \boldsymbol{f}(D)$ に対して、$xF^t$、$yM$、$zM^2$ を生成する分数イデアルの集合 $\mathcal{J}$ を定義する。
• $\mathcal{J}$ を用いて、$E^\ast = \bigcap \{ J \in \mathcal{J} \mid J \supseteq E \}$ によりスター作用素 $\ast$ を定義する。
• 特定の $F \in \boldsymbol{f}(D)$ に対して $F^\ast = F^t$ が成り立たないことを示す。例えば $I = (X_i,X_j)$ に対して $I^t = D$ だが $I^\ast = M$ であることを証明することで、$F^\ast \neq F^t$ となる例を示す。
• $b$-クロネッカー関数環 $\mathrm{Kr}(D,b)$ を用いて、$\ast$ におけるイデアルの挙動を分析し、そのBézout整域構造を活用する。
• 仮定 $I \not\subseteq G^\ast$ に対して矛盾を導出し、$I \subseteq G^\ast$ が成り立つこと、したがって $\ast$ がe.a.b.であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整域上のスター作用素に関して、ギルマーのe.a.b.キャンセレーション条件はクラウルのa.b.キャンセレーション条件よりも厳密に弱いか？
• RQ2 スター作用素がa.b.でないにもかかわらずe.a.b.であることは可能か？
• RQ3 非ネーター整域において、$t$-作用素はe.a.b.性質を完全に捉えているか？
• RQ4 ある $F \in \boldsymbol{f}(D)$ に対して $F^\ast = F^t$ が成り立たないスター作用素を構成できるか？ ただし $F^t = D$ である。
• RQ5 $I = (X_i,X_j)$ に対して $I^\ast = M$ だが $I^t = D$ となるような整域が存在するか？ これにより $\ast$ が $t$-類似でないことが示される。

主な発見

• 本論文で構成されたスター作用素 $\ast$ はe.a.b.条件を満たすが、a.b.条件には失敗する。
• $i \neq j$ に対して $I = (X_i,X_j)$ とすると、$I^\ast = M$ であるが $I^t = D$ であるため、$F \in \boldsymbol{f}(D)$ に対して $F^\ast \neq F^t$ である例が得られる。
• 作用素 $\ast$ はe.a.b.である。なぜなら、任意の $F,G,H \in \boldsymbol{f}(D)$ に対して $(FG)^\ast \subseteq (FH)^\ast$ ならば $G^\ast \subseteq H^\ast$ が成り立つからである。
• 作用素 $\ast$ はa.b.でない。なぜなら、$(FG)^\ast \subseteq (FH)^\ast$ であっても $G^\ast \not\subseteq H^\ast$ となるような $F,G,H \in \boldsymbol{F}(D)$ が存在するためであり、これはクロネッカー関数環を用いた背理法によって示された。
• 背理法の根拠は、主イデアル $\mathcal{H}$ に対して $M\mathrm{Kr}(D,b) \subseteq \mathcal{H}$ を仮定したとき、すべての $n$ に対して $X_n \in \varphi\mathrm{Kr}(D,b)$ となるが、$\varphi$ が有限個の不定元しか含まない限りこれは不可能である。
• この構成により、e.a.b.条件がa.b.条件よりも厳密に弱いことが確認され、乗法的イデアル論における基礎的問題が解決された。