[論文レビュー] Canonical analysis of cosmological topologically massive gravity at the chiral point

Daniel Grumiller, R. Jackiw+1 more|ArXiv.org|Jun 25, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用数 46

ひとこと要約

本稿は、カルタン変数を用いた第一階形式を用いて、チラル点における宇宙論的トポロジカル・マス・ゲージ理論の非摂動的正準解析を実施し、詳細な制約解析を通じて、1つの物理的バルク自由度（トポロジカル・マス・ゲージ粒子として特定される）を同定した。これは、時空各点ごとに2次元の物理的位相空間を持つことを確認するものである。

ABSTRACT

Wolfgang Kummer was a pioneer of two-dimensional gravity and a strong advocate of the first order formulation in terms of Cartan variables. In the present work we apply Wolfgang Kummer's philosophy, the `Vienna School approach', to a specific three-dimensional model of gravity, cosmological topologically massive gravity at the chiral point. Exploiting a new Chern-Simons representation we perform a canonical analysis. The dimension of the physical phase space is two per point, and thus the theory exhibits a local physical degree of freedom, the topologically massive graviton.

研究の動機と目的

• チラル宇宙論的トポロジカル・マス・ゲージ理論（CCTMG）が線形化近似を超えてバルク自由度を持つかどうかという長年の論争を解消すること。
• Wolfgang Kummerの「ウィーン学派」の手法を適用すること—第一階形式のカルタン変数（ビエルバインと接続）とゲージ理論的手法を用いること。
• チラル点（μℓ = 1）におけるCCTMGの非摂動的正準解析を実施し、制約構造と位相空間次元に焦点を当てる。
• 既存の文献におけるCCTMGにおける物理的自由度の数に関する矛盾（ゼロ対1）を解明すること。
• 第一階形式が第二階作用と整合的であることを確立し、通常の場配置に対応しない物理的領域を同定すること。

提案手法

• 独立なビエルバイン $e^a$ と接続 $\omega^a$ を用いた第一階作用を用いて宇宙論的トポロジカル・マス・ゲージ理論を定式化し、ねじれ制約 $T_a = de_a + \varepsilon_{abc}\omega^b \wedge e^c = 0$ を強制するためのラグランジュ乗数 $\lambda^a$ を補足する。
• 新たなチャーン・シンコス項表現を用いて作用を表現し、2つのアインシュタイン＝ヒルベルト項と重力チャーン＝シンコス項の組み合わせとして理論を再構成することで、ゲージ理論的取り扱いを可能にする。
• 時空を空間と時間に分割し、正準構造から一次、二次、三次制約を特定することでハミルトニアン解析を実施する。
• 制約間の24×24ペアノ括弧行列を用いて制約行列のランクを計算し、独立で第一類型の制約は4つであることを示す。
• ディラック＝ベルグマンのアルゴリズムを適用し、制約を第一類型（ゲージ）または第二類型（位相空間次元を削減）に分類し、$\delta$-関数を用いた制約代数の閉包を検証する。
• ねじれとリッチ1形式がオンシェル上に消えることから導かれる条件 $e^a \wedge \lambda_a = 0$ を用いて、制約行列のランクを6から4に低下させ、各点あたり2次元の物理的位相空間であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チラル点における宇宙論的トポロジカル・マス・ゲージ理論は、線形化領域を超えて物理的バルク自由度を持つのか？
• RQ2 独立したビエルバインと接続を用いた第一階形式で解析されたCCTMGの正準構造は、どのように異なるのか？
• RQ3 CCTMGにおける物理的位相空間の正確な次元は何か？ また、物理的自由度の数とどのように関係しているか？
• RQ4 なぜ過去の解析では、自由度がゼロ対1という矛盾した結果が出たのか？ 一貫した制約解析によってこの矛盾は解消可能か？
• RQ5 第一階形式には、通常の第二階場配置に対応しない物理的領域があるのか？ それらの意義は何か？

主な発見

• チラル点における宇宙論的トポロジカル・マス・ゲージ理論の物理的位相空間は、時空各点あたり次元2であり、1つの物理的バルク自由度が存在することを確認した。
• 制約解析により、独立で第一類型の制約は4つであり、残りの制約は第二類型であり、位相空間次元が24から2に削減されることを示した。
• オンシェル上での条件 $e^a \wedge \lambda_a = 0$ により、制約行列のランクが6から4に低下し、これはねじれとリッチ1形式がオンシェル上で消えることから導かれる。
• 二次制約のペアノ括弧代数は、微分ではなく$\delta$-関数を用いて閉じており、Wolfgang Kummerが提唱したゲージ理論的形式の特徴的性質である。
• 線形化領域におけるトポロジカル・マス・ゲージ粒子が物理的自由度であるという結果は、文献における矛盾を解消するものであり、整合的である。
• ねじれ制約を動的条件ではなく位相空間上の制約として扱うことで、2次元の物理的位相空間への一貫した削減が達成され、1つの物理的自由度の存在が裏付けられた。