[論文レビュー] Canonical bases of loop algebras via quot schemes II

Olivier Schiffmann|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、星型ダイキン図をもつカック＝ムーディ代数に付随する量子ループ代数の正の部分に対して、滑らかな射影曲線 X とその有限群作用 G が X/G ≅ ℙ¹ を満たすような、一様な可換層の Quot スキーム上の G-同変コンストラクティブル層を用いて、標準基底を構成する。主な結果は、有限およびタウメ型（楕円曲線）の場合に、これらの層の畳み込み代数の完備化と、量子ループ代数の完備化された正の部分との間の同型を証明することであり、非カック＝ムーディ型量子トロイダル代数に対する最初の標準基底を確立する。

ABSTRACT

This paper is a sequel (and contains a better treatment) of math.QA/0404032; We construct some canonical bases for quantum toroidal algebras of types D_4, E_6, E_7, E_8 using perverse sheaves on quot schemes parametrizing equivariant coherent sheaves on elliptic curves. We also study some compatibility properties of these bases with some natural filtrations and modules.

研究の動機と目的

• 量子群から量子ループ代数への標準基底の幾何的構成を拡張し、特に非カック＝ムーディ型の設定において行う。
• 可換層のカテゴリにおける部分加群格子の無限の深さという課題に対処し、Quot スキームの帰納的極限を必要とする。
• G-同変コンストラクティブル層の畳み込み代数を用いた、量子ループ代数の正の部分の幾何的実現を提供する。
• この代数の完備化が、有限およびタウメ型の両方において、量子ループ代数の完備化された正の部分と同型であることを証明する。
• D₄、E₆、E₇、E₈ 型の量子トロイダル代数に、標準基底の存在を確立する。これらは非カック＝ムーディ型であり、かつそれまでこのような基底が存在しなかった。

提案手法

• 滑らかな射影曲線 X と X/G ≅ ℙ¹ を満たす有限群作用 G を持つ G-同変可換層のカテゴリを用い、通常のクーヴァーまたは重み付き射影直線の設定に代えて用いる。
• 固定された層の商をパラメータとする Quot スキーム上での G-同変で、単純で、コンストラクティブルな層からなる畳み込み代数 𝔻_𝔸 を構成する。
• 標準基底は、この畳み込み代数に現れるすべての単純 perverse 層の集合として定義され、これらが代数の完備化 𝔻_𝔸 を生成することが示される。
• この手法には、層のカテゴリ間の転送関手、誘導および制限関手の使用に加え、半安定および不安定な層を分析するためのハーダー＝ナラシマン層への分解を用いる。
• 畳み込み代数と完備化された量子ループ代数との同型の証明は、部分加群格子の構造と Quot スキームの帰納的極限に依存する。
• 本構成は、2つの主要なケースで検証される：X = ℙ¹ の場合（有限型、量子アフィン代数を与える）と、X が楕円曲線で G = ℤ/nℤ の場合（タウメ型、量子トロイダル代数を与える）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 星型ダイキン図をもつカック＝ムーディ代数に付随する量子ループ代数の正の部分に対して、幾何的技法を用いて標準基底を構成できるか？
• RQ2 可換層カテゴリにおける部分加群格子の無限の深さは、どのように扱うことができるか？
• RQ3 G-同変コンストラクティブル層の畳み込み代数が、有限およびタウメ型の両方において、量子ループ代数の完備化された正の部分と同型であるか？
• RQ4 この構成により、非カック＝ムーディ型の量子トロイダル代数においても、標準基底が得られるか？
• RQ5 単純 perverse 層からなる標準基底のパrametrization と幾何的記述は何か？

主な発見

• G-同変コンストラクティブル層の Quot スキーム上に定義された代数 𝔻_𝔸 は、単純 perverse 層からなる標準基底を持ち、これにより完備化 𝔻_𝔸̂ が生成される。
• 有限型の場合（X = ℙ¹）、完備化 𝔻_𝔸̂ ⊗ ℂ(v) は、量子アフィン代数 𝒰_v(ℒ𝔰ₗ₂) の完備化された正の部分と同型であり、ドリンフェルトの表現における 𝒰_v(ℒ𝔫) に対する標準基底を提供する。
• タウメ型の場合（X が楕円曲線で G = ℤ/nℤ）、完備化 𝔻_𝔸̂ ⊗ ℂ(v) は、量子トロイダル代数の完備化された正の部分と同型であり、非カック＝ムーディ型代数に対する最初の標準基底を確立する。
• 本構成により、D₄、E₆、E₇、E₈ 型の量子トロイダル代数に標準基底が得られ、これらの基底要素の幾何的パラメータ化が提供される。
• 部分加群格子の無限の深さは、Quot スキームの帰納的極限を用い、ハーディング＝ナラシマン層への分解を用いて、うまく扱える。
• 同型の証明は、層の系列における因子の数に関する帰納法に基づき、Quot スキーム間の埋め込み写像を用い、基底が代数構造に関して閉じていることを検証することでなされる。