[論文レビュー] Canonical bundles of complex nilmanifolds, with applications to hypercomplex geometry

M. L. Barberis, Isabel G. Dotti+1 more|ArXiv.org|Dec 22, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の複素-nil多様体の正則標準バンドルが正則的に自明であることを証明しており、これは変形理論に影響を及ぼす強い幾何的制約である。さらに、超複素-nil多様体がHKT計量をもつための必要十分条件は、その超複素構造がアーベル的であることであることを示し、すべてのG-不変HKT計量が関連するすべての複素構造に関してバランス型であることも示している。

ABSTRACT

A nilmanifold is a quotient of a nilpotent group $G$ by a co-compact discrete subgroup. A complex nilmanifold is one which is equipped with a $G$-invariant complex structure. We prove that a complex nilmanifold has trivial canonical bundle. This is used to study hypercomplex nilmanifolds (nilmanifolds with a triple of $G$-invariant complex structures which satisfy quaternionic relations). We prove that a hypercomplex nilmanifold admits an HKT (hyperkahler with torsion) metric if and only if the underlying hypercomplex structure is abelian. Moreover, any $G$-invariant HKT-metric on a nilmanifold is balanced with respect to all associated complex structures.

研究の動機と目的

• すべての複素-nil多様体の標準バンドルの正則自明性を確立すること。これは変形理論およびケーラー的幾何に深い影響を及える。
• 超複素-nil多様体にHKT計量が存在するかを、その背後にある超複素構造の代数的性質、特にアーベル性との関係で調査すること。
• nil多様体上のG-不変HKT計量のバランス性を分析し、それらがすべての3つの複素構造に関してバランス型であることを示すこと。
• 非アーベル超複素-nil多様体の具体例を構成し、それらがHKT計量をもたないことを示すことで、Bogomolov-Tian-Todorov定理のnil多様体設定における一般化への可能性を反証すること。

提案手法

• ノルム的リー代数上の左不変構造によって誘導される、至る所で消えない正則体形式の存在を用いて、複素-nil多様体の標準バンドルが正則的に自明であることを証明する。
• 超複素-nil多様体がG-不変HKT計量をもつための必要十分条件が、その超複素構造がアーベル的であることであることを、リー代数の構造とBismut接続の性質から導出する。
• HKT構造におけるBismut接続の公式を適用し、アーベル条件のもとでリー形式が消えることを示し、これにより計量が各複素構造に関してバランス型であることを示す。
• 非可換複素結合代数A（例えばk×kの厳密上三角行列）を用いたアフィンリー代数構成Aff(A)を用いて、非アーベル超複素-nil多様体の族を構成する。
• アーベル性がHKT計量の存在に必要十分であることから、非アーベル性が示されたことにより、それらの結果として得られるnil多様体がHKT計量をもたないことを示す。
• Tian-Todorovの補題の枠組みとコhomological道具（例えばMassey積）を用いて、非ケーラー的設定においても標準バンドルが自明であっても、変形理論の障害が生じることを文脈づけて説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の複素-nil多様体の標準バンドルは正則的に自明か？
• RQ2 超複素-nil多様体がHKT計量をもつための条件は何か？
• RQ3 nil多様体上のすべてのG-不変HKT計量は、関連する複素構造に関してバランス型か？
• RQ4 非アーベル超複素-nil多様体はHKT計量をもつことができるか？また、それらは基礎となるリー代数の構造とどのように関係するか？
• RQ5 非ケーラー的設定において、非退化的なFrölicherスペクトル系列をもつにもかかわらず、標準バンドルが自明である場合、Bogomolov-Tian-Todorov定理はどの程度nil多様体に一般化可能か？

主な発見

• 任意の複素-nil多様体の標準バンドルは正則的に自明であり、これは左不変な正則体形式が至る所で消えないことから証明される。
• 超複素-nil多様体がHKT計量をもつための必要十分条件は、その超複素構造がアーベル的であることである。これは明確な代数的・幾何的基準を示している。
• nil多様体上のすべてのG-不変HKT計量は、すべての3つの複素構造に関してバランス型である。これはHKT条件のもとでリー形式が恒等的に消えることから導かれる。
• 非可換複素結合代数A（例えばk×kの厳密上三角行列）を用いたアフィンリー代数構成Aff(A)を用いて、非アーベル超複素-nil多様体の族を構成した。
• これらの非アーベル超複素-nil多様体は、アーベル性が満たされないためHKT計量をもたない。アーベル性はHKT計量の存在にとって必要十分な条件である。
• これらの結果は、非ケーラー的幾何において、標準バンドルが自明であっても変形が非障害的でない可能性を示しており、Bogomolov-Tian-Todorov定理の一般化への可能性に対する反例を提供している。