[論文レビュー] Canonical conjugated Dirac equation in a curved space

Vladimir Dzhunushaliev|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2012

Relativity and Gravitational Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ミンコフスキー空間と曲がった時空の球座標系における一貫性の欠如を解消するために、正準共役接続を導入することで、曲がった時空におけるディラック方程式の定式化の矛盾を解消した。主な貢献は、リーマン＝ノールストローム背景におけるディラック方程式の新たな解であり、裸の特異点では電荷を帯びたフェルミオンの安定した束縛状態が存在するが、ブラックホール幾何学では存在しない。これは重力的吸引力がクーロン力よりも強いことによる。

ABSTRACT

It is shown that the calculation of Dirac operator for the spherical coordinate system with spherical Dirac matrices and using the spin connection formalism is in the contradiction with the definition of standard Dirac operator in the spherical Minkowski coordinate system. It is shown that such contradiction one can avoid by introducing a canonical conjugated covariant derivative for the spinor field. The Dirac equation solution on the Reissner - Nordström background is obtained. The solution describes a bound state of a charged particle.

研究の動機と目的

• 球座標系に標準的スピン接続形式を適用した場合に生じる一貫性の欠如を解消すること。
• 正準共役接続を用いた曲がった時空におけるディラック作用素の一貫した定式化を確立すること。
• 相対論的束縛状態が、特にリーマン＝ノールストローム時空の周囲に強い重力場の中で存在するかどうかを調査すること。
• 曲がった時空における量子的レベルでの重力的力と電磁力の相乗作用を探索すること。

提案手法

• 平坦なディラック行列の選択に依存しない不変性を保証するため、標準的スピン接続形式に代えて正準共役接続を導入する。
• tetrad とスピン接続を用いて球座標系におけるディラック作用素を導出し、標準的ミンコフスキー空間の定式化と比較する。
• 修正されたディラック方程式をリーマン＝ノールストローム計量に適用し、束縛状態のための径方向方程式を数値的に解く。
• 次元なしパラメータ（例：$\tilde{\omega} = \omega/m$、$\tilde{e}$、$\tilde{M}$、$\tilde{Q}$）を用いて漸近的および束縛状態の振る舞いを分析する。
• スピンルータ成分 $f(x)$ と $g(x)$ の連立径方向方程式を解き、無限遠および原点付近での振る舞いを分析する。
• 引力的および斥力的クーロン相互作用、および時空の種別（裸の特異点対ブラックホール）の違いによる解の比較を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ標準的スピン接続形式を球座標系に適用すると、ディラック作用素の計算において一貫性の欠如が生じるのか？
• RQ2 平坦なディラック行列の選択に依存しない不変性を保ちつつ、曲がった時空における一貫したディラック方程式を定式化できるか？
• RQ3 リーマン＝ノールストローム時空において、電荷を帯びたフェルミオンの安定した束縛状態が存在するか、またどのような条件下で存在するか？
• RQ4 強い場の領域において、重力的力とクーロン力の相対的寄与度が束縛状態の存在に与える影響は何か？

主な発見

• 標準的スピン接続形式を球座標系に適用すると、標準的ミンコフスキー空間におけるディラック作用素を再現できないため、矛盾が生じる。
• 正準共役接続の導入により、この矛盾が解消され、ディラック作用素が平坦なディラック行列の選択に依存しない不変性を保つ。
• リーマン＝ノールストロームの裸の特異点背景では、電荷を帯びたフェルミオンの束縛状態解が存在するが、ブラックホール幾何学では存在しない。
• 解はボーア原子の波動関数と一致する漸近的振る舞いを示し、指数的減衰は $\tilde{\omega} = \omega/m$ によって制御される。
• 重力的吸引力がクーロン力（引力・斥力）を上回るため、正電荷および負電荷の両方に対して束縛状態が可能である。
• 数値的解法により、$f(x)$ と $g(x)$ が無限遠で $e^{-x\sqrt{1-\tilde{\omega}^2}}/x^2$ のように減衰することが確認され、束縛状態の性質が裏付けられた。