[論文レビュー] Canonical connection and contact Cauchy-Riemann maps on contact manifolds I

Yong‐Geun Oh, Rui Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Geometry and complex manifolds被引用数 1

ひとこと要約

本稿は接触多様体上での非線形楕円型系 $\bar\partial^\pi w = 0$ および $d(w^*\lambda \circ j) = 0$ を接触三重接続を用いて直接解析し、$k \geq 2$ の $C^k$ 係数の推移的推定を確立する。有界な勾配と有限な $\pi$-調和エネルギーをもつ解については、回転するリーブ軌道に沿ってねじれ型インスタントンへの漸近的収束を示し、電荷 $Q = 0$ で接触形式が非退化である場合には指数的収束が成り立つ。

ABSTRACT

In the present article, we develop the analysis of the following nonlinear elliptic system of equations $$ \bar\partial^\pi w = 0, \, d(w^*\lambda \circ j) = 0 $$ first introduced by Hofer, associated to each given contact triad $(M,\lambda,J)$ on a contact manifold $(M,\xi)$. We directly work with this elliptic system on the contact manifold without involving the symplectization process. We establish the local a priori $C^k$ coercive pointwise estimates for all $k \geq 2$ in terms of $\|dw\|_{C^0}$ by doing tensorial calculations on contact manifold itself using the contact triad connection introduced by present the authors. Equipping the punctured Riemann surface $(\dot \Sigma,j)$ with a cylindrical Kahler metric and isothermal coordinates near every puncture, we prove the asymptotic (subsequence) convergence to the `spiraling' instantons along the `rotating' Reeb orbit for any solution $w$, not necessarily for $w^*\lambda \circ j$ being exact (i.e., allowing non-zero `charge' $Q eq 0$), with bounded gradient $\|d w\|_{C^0} < C$ and finite $\pi$-harmonic energy. For nondegenerate contact forms, we employ the `three-interval method' to prove the exponential convergence to a closed Reeb orbit when $Q = 0$. (The Morse-Bott case using this method is treated in a sequel (arXiv:1311.6196).)

研究の動機と目的

• 接触多様体上でシンプレクティゼーションを用いずに非線形楕円型系 $\\bar\\partial^\\pi w = 0$ および $d(w^*\lambda \circ j) = 0$ の直接的解析フレームワークを構築すること。
• 接触三重接続を用いたテンソル的計算により、$k \geq 2$ の局所的 $C^k$ 係数の点ごとの推定を確立すること。
• 有界な勾配と有限な $\pi$-調和エネルギーをもつ解が、すなわち $Q \neq 0$ の場合であっても、『ねじれ型』インスタントンへ『回転する』リーブ軌道に沿って漸近的（部分列としての）収束することを証明すること。
• 非退化接触形式の状況にまで分析を拡張し、$Q = 0$ の場合に『三区間法』を用いて指数的収束を証明すること。

提案手法

• シンプレクティゼーションを回避するため、接触多様体上での接触三重接続を直接用いた解析が行われる。
• 系 $\bar\partial^\pi w = 0$ および $d(w^*\lambda \circ j) = 0$ は、円柱型ケーラー計量をもつ穿孔付きリーマン面 $ (\dot\Sigma, j) $ 上の非線形楕円型系として取り扱われる。
• 各穿孔の近傍で等方的座標（等角座標）が用いられ、解の無限遠における挙動が解析される。
• 接触三重接続を用いて、テンソル的計算により $\|dw\|_{C^0}$ を用いた $k \geq 2$ の $C^k$ 係数の推定を導出する。
• 電荷 $Q = 0$ で接触形式が非退化である場合に、指数的収束を示すために『三区間法』が適用される。
• 解析は $w^*\lambda \circ j$ が正確でない場合にも対応可能であるため、非ゼロ電荷 $Q \neq 0$ を許容する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形楕円型系 $\bar\partial^\pi w = 0$ および $d(w^*\lambda \circ j) = 0$ は、シンプレクティゼーションを避けて接触多様体上でどのように直接解析可能か？
• RQ2 この系の解に対する局所的 $C^k$ 係数の推定は何か？ また、$\|dw\|_{C^0}$ にどのように依存するか？
• RQ3 有界な勾配と有限な $\pi$-調和エネルギーをもつ解の漸近的挙動は何か？ 特に $Q \neq 0$ の場合にどうか？
• RQ4 指数的収束が閉じたリーブ軌道へと成り立つ条件は何か？ 特に $Q = 0$ の場合にどうか？
• RQ5 『三区間法』は非退化状況における指数的収束の証明をどのように支援するか？

主な発見

• 接触三重接続を用いた接触多様体上のテンソル的計算により、$k \geq 2$ の局所的 $C^k$ 係数の点ごとの推定が $\|dw\|_{C^0}$ を用いて確立された。
• 有界な勾配 $\|dw\|_{C^0} < C$ と有限な $\pi$-調和エネルギーをもつ解は、$Q \neq 0$ であっても、『ねじれ型』インスタントンへ『回転する』リーブ軌道に沿って漸近的（部分列としての）収束を示す。
• 非退化接触形式で $Q = 0$ の場合、『三区間法』を用いて閉じたリーブ軌道への指数的収束が証明された。
• 接触三重接続を用いた接触多様体上での直接的解析により、シンプレクティゼーションの必要がなくなる。
• 非正確な $w^*\lambda \circ j$ を許容するフレームワークであるため、非ゼロ電荷 $Q \neq 0$ を扱えるようになり、従来の結果を一般化した。
• 穿孔の近傍での等角座標の使用により、穿孔付きリーマン面における解の漸近的挙動を精密に制御できるようになった。