[論文レビュー] Canonical coordinates on the canonical lift

Robert Carls|ArXiv.org|Jul 30, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、残渣類体の特徴が $ p \geq 2 $ である完備ネーター局域環上での通常代数的多様体の標準的リフトに対して、canonical theta 構造の存在を確立し、$ p = 2 $ の場合にまで既存の結果を拡張する。この構成は相対的フロベニウスのリフトと、エタールおよび $ q $- torsion 部分群間の canonical 同型に依拠し、算術的不変量として機能する canonical theta null 点を生じる。

ABSTRACT

In this article we prove the existence of a canonical theta structure for the canonical lift of an ordinary abelian variety.

研究の動機と目的

• 標準的リフトされた通常代数的多様体の theta null 点を研究するための理論的基盤を提供すること。
• これまで $ p > 2 $ の場合にのみ知られていた、残渣類体の特徴が $ p = 2 $ の場合における canonical theta 構造の存在を拡張すること。
• $ \delta = 2 $ ならば $ p = 2 $、それ以外は $ \delta = 1 $ であるとき、ペア $ (A^{(q\delta)}, (\mathcal{L}^{(q\delta)})^{\otimes q}) $ に対する canonical theta 構造を確立すること。
• theta null 点から導かれる方程式を用いて、数体上での双曲的曲線のアルゴリズム的構成を支援すること。

提案手法

• 完備局所環 $ R $ 上のアーベル・スキームの間で、相対的 $ q $-フロベニウス同態 $ F: A \to A^{(q)} $ を $ q $- torsion 構造を保つようにリフトする。
• $ F^*\mathcal{L}^{(q)} \cong \mathcal{L}^{\otimes q} $ を満たす canonical アーベル線束 $ \mathcal{L}^{(q)} $ を $ A^{(q)} $ 上に構成し、特異ファイバー上の $ q $-フロベニウスのねじれをリフトする。
• 与えられた同型 $ (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})_R^g \xrightarrow{\sim} A[q]^{\mathrm{et}} $ を用いて、$ q $- torsion 部分群スキーム上にラグランジュ構造を定義する。
• theta 群と交換子ペアリングの理論を適用し、$ u: K \to G((\mathcal{L}^{(q)})^{\otimes q}) $ および $ v: K^D \to G((\mathcal{L}^{(q)})^{\otimes q}) $ のセクションを構成し、タイプ $ (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})_R^g $ の theta 構造を得る。
• $ p = 2 $ の場合、$ A $ を $ A^{(2)} $ に置き換え、エタール部分のフロベニウスに由来する $ A^{(2)}[2] \cong A^{(2)}[2]^{\mathrm{loc}} \times A^{(2)}[2]^{\mathrm{et}} $ の canonical 分解を用いる。
• 標準的リフトの性質と自己同型のリフトを適用し、$ \mathcal{M}^{\otimes q} $ 上の theta 構造が $ \mathcal{L}^{\otimes q} $ 上に canonical な theta 構造を誘導することを示し、補題 2.2 を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴が $ p = 2 $ である通常代数的多様体の標準的リフトに対して、canonical theta 構造は存在するか？
• RQ2 任意の選択に依存せず、エタール $ q $- torsion 同型にのみ依存する形で canonical theta 構造を構成できるか？
• RQ3 線束の $ q $ 乗上の canonical theta 構造は、標準的リフトの算術的不変量とどのように関係するか？
• RQ4 環 $ R $ 上でのフロベニウス自己同型のリフトが存在しない場合でも、$ (A, \mathcal{L}^{\otimes q}) $ 上の canonical theta 構造は well-defined に定義されるか？
• RQ5 3-adic 環上で theta null 点の式を導出し、CM 曲線のアルゴリズム的構成を可能にするために canonical theta 構造を用いることができるか？

主な発見

• 定理 2.1 は、$ \delta = 2 $ ならば $ p = 2 $、それ以外は $ \delta = 1 $ のとき、ペア $ (A^{(q\delta)}, (\mathcal{L}^{(q\delta)})^{\otimes q}) $ に対してタイプ $ (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})_R^g $ の canonical theta 構造の存在を確立する。
• この構成は、任意の選択に依存せず、与えられた同型 $ (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})_R^g \xrightarrow{\sim} A[q]^{\mathrm{et}} $ のみに依存するという意味で canonical である。
• $ p > 2 $ の場合、$ A $ が標準的リフトであり、$ R $ が $ p $ 乗フロベニウスのリフトを備えるならば、$ (A, \mathcal{L}^{\otimes q}) $ 上に canonical theta 構造が存在する。
• $ p = 2 $ の場合、$ (A^{(2q)}, (\mathcal{L}^{(2q)})^{\otimes q}) $ 上に canonical theta 構造が存在し、その構成は $ 2 $- torsion を局所部とエタール部に分ける canonical 分解に依存する。
• canonical theta 構造は canonical theta null 点を誘導し、これは標準的リフトの算術的不変量である。
• 補題 2.2 は、$ R $ 上にフロベニウスのリフトが存在するという仮定の下で、$ (A, \mathcal{L}^{\otimes q}) $ 上の canonical theta 構造が存在し、リフトの選択に依存しないことを示しており、より一般的に成立する可能性を示唆する。