[論文レビュー] Canonical diffusions on the pattern spaces of aperiodic Delone sets

Patricia Alonso Ruiz, Michael Hinz+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2018

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 67被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限局所的複雑性を有する非周期的で再帰的なデローネ集合のパターン空間における正規化された拡散過程を導入し、研究している。独創的なソボレフ空間およびディリクレ型形式の構成を用いて、自己随伴ラプラシアンを有するフェラー拡散過程の存在を確立し、ユニタリなシュレーディンガー半群を導出し、調和関数に関するリウヴィルの定理およびヘルムホルツ・ホッジの定理を証明している。

ABSTRACT

We consider pattern spaces of aperiodic and repetitive Delone sets of finite local complexity. These spaces are compact metric spaces and constitute a special class of foliated spaces. We define new Sobolev spaces with respect to the unique invariant measure and prove the existence of the unitary Schrödinger semigroup, which in physics terms describe the evolution of phasons. We define and study natural leafwise diffusion processes on these pattern spaces. These processes have Feller, but lack strong Feller and hypercontractivity properties, and heat kernels do not exist. The associated Dirichlet forms are regular, strongly local, irreducible and recurrent, but not strictly local. For harmonic functions we prove new Liouville and Helmholtz-Hodge type theorems.

研究の動機と目的

• 非周期的で再帰的かつ有限局所的複雑性を有するデローネ集合のパターン空間に自然な拡散過程を定義し、厳密に構成すること。
• 一意な $\mathbb{R}^d$-不変確率測度 $\mu$ を用いた、関連するfoliated空間のための固有の不変測度の存在を確立し、それに関連するソボレフ空間を定義すること。
• 自己随伴ラプラシアンおよびユニタリシュレーディンガー半群の存在を証明し、準晶におけるフォノンダイナミクスに関連するものとする。
• 関連するディリクレ型形式の確率論的およびスペクトル的性質（非可約性および再帰性を含む）を分析すること。
• これらのパターン空間における調和関数に関するリウヴィル型およびヘルムホルツ・ホッジ型の定理を導出すること。

提案手法

• 非周期的で再帰的かつ有限局所的複雑性を有するデローネ集合と関連するコンパクトな距離空間としてのパターン空間を定義する。
• 一意な $\mathbb{R}^d$-不変確率測度 $\mu$ を用いて、正規化されたソボレフ空間 $\mathcal{W}^{k,2}(\Omega,\mu)$ を構成する。
• 連続関数上でフェラー半群 $ (T_t)_{t \geq 0} $ を定義し、その生成作用素 $ \mathcal{L}_{C(\Omega)} $ を同定する。
• フェラー半群を $ L^2(\Omega,\mu) $ 上の強い連続半群 $ (P_t)_{t>0} $ に拡張し、その生成作用素 $ \mathcal{L} $ が自己随伴であることを示す。
• $ \mathcal{D}(\mathcal{E}) $ 上でディリクレ型形式 $ \mathcal{E} $ を定義し、それが正則で、強く局所的かつ非可約かつ再帰的であることを証明する。
• ホッジスター作用素および繊維ごとの双対性を用いて、1次元パターンにおけるヘルムホルツ・ホッジ分解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限局所的複雑性を有する非周期的デローネ集合のパターン空間に、自然な拡散過程を厳密に定義できるか？
• RQ2 このようなパターン空間における関連するラプラシアンおよびディリクレ型形式のスペクトル的および確率論的性質は何か？
• RQ3 これらのパターン空間における調和関数はリウヴィル型の定理を満たすか？また、それらの構造はいかなるものか？
• RQ4 強いフェラー性および超収縮性の欠如が、熱核および遷移密度に与える影響は何か？
• RQ5 動的スペクトルは、拡散過程のエルゴード性およびスペクトル的性質を特徴付ける役割を果たすか？

主な発見

• パターン空間上の正規化拡散過程はフェラー的ではあるが、強いフェラー的ではない。熱核は、滑らかな遷移密度の欠如により存在しない。
• ディリクレ型形式 $ \mathcal{E} $ は正則で、強く局所的かつ非可約かつ再帰的であるが、厳密に局所的ではない。これはfoliated空間の特異的構造を反映している。
• 自己随伴ラプラシアン $ \mathcal{L} $ はユニタリシュレーディンガー半群 $ e^{i\mathcal{L}} $ を生成し、準晶におけるフォノンダイナミクスの数学的基盤を提供する。
• リウヴィルの定理が成立する：有界な調和関数は定数であり、有限エネルギーの調和関数は $ \mu $-ほとんど everywhere で定数である。
• 1次元パターンの場合、ホッジスター作用素 $ \star_\omega $ を用いて、$ L^2 $-関数が完全形式および余完全形式に分解されるヘルムホルツ・ホッジ分解が成立する。
• コプマン作用素 $ \{U_{\vec{t}}\} $ の動的スペクトルは純粋点スペクトルであり、$ \mathbb{R}^d $-作用のエルゴード性は、すべての固有値 $ \vec{\alpha} $ に対して $ \langle \vec{\tau}, \vec{\alpha} \rangle \notin \mathbb{Z} $ であるという条件によって特徴づけられる。