[論文レビュー] Canonical divisors on T-varieties

Hendrik Süß|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、次元が低いトーラス作用をもつT-多様体（T-多様体）を研究するための凸幾何的枠組みを構築する。この枠組みでは、分(piecewise)アフィン関数を用いて不変除(collection)を記述し、そのアーリット性の基準を提示する。この枠組みを用いて、ピカール数1、ゴレンシュタイン指数≤3のロジック・デル・ペッツォ C∗-曲面を分類し、Fano 3次元多様体への応用も行い、曲線上の多面体的除集合と除集合ファンを用いた、等変な滑らか化の明示的構成を与える。

ABSTRACT

Generalising toric geometry we study compact varieties admitting lower dimensional torus actions. In particular we describe divisors on them in terms of convex geometry and give a criterion for their ampleness. These results may be used to study Fano varieties with small torus actions. As a first result we classify log del Pezzo C*-surfaces of Picard number 1 and Gorenstein index less than 4. In further examples we show how classification might work in higher dimensions and we give explicit descriptions of some equivariant smoothings of Fano threefolds.

研究の動機と目的

• トーリック幾何を次元が低いトーラス作用をもつT-多様体へ一般化し、トーリックでない設定においてもFano多様体やデル・ペッツォ多様体を研究可能にする。
• 多面体的除集合上の分アフィン関数を用いて、不変除集合、標準除集合、交線数を体系的に記述する方法を提供する。
• T-多様体上の除集合のアーリット性の必要十分条件を確立し、Fano多様体やロジック・デル・ペッツォ多様体の分類に不可欠な基盤を提供する。
• この枠組みを用いて、C∗-作用、ピカール数1、ゴレンシュタイン指数≤3のロジック・デル・ペッツォ曲面を分類する。
• この方法を高次元Fano多様体へ拡張し、除集合ファンを用いて特異Fano 3次元多様体の等変な滑らか化を示す。

提案手法

• 射影的曲線Y上の多面体的除集合を用いて、余次元1のトーラス作用をもつT-多様体を記述する。ここで、除集合の係数は固定されたテイル錐内にある多面体である。
• 双対錐σ∨∩M上の分アフィン関数を用いて不変除集合を定義し、評価D(u) = ∑ min⟨u,v⟩D（v∈∆D）を用いる。
• アーリット性の基準を確立する：Dがアーリットであるための必要十分条件は、σ∨の相対的内部のすべてのuに対してD(u)がアーリットであり、かつσ∨∩Mのすべてのuに対してD(u)が半アーリットかつカーティエであること。
• K_X = -∑_{D∈Ξ} (1 - deg(D)) · D という公式により標準除集合を構成する。ここでdeg(D)は多面体的除集合の次数である。
• 除集合ファンを用いてアフィンT-多様体X(D)を貼り合わせる。スライスはYの点上のファイバーに対応し、グローバルな幾何的構成を可能にする。
• 格子の自己同型とミンコフスキー分解を用いて、特異Fano 3次元多様体（例えばdP6の錐）の等変な滑らか化を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余次元1のトーラス作用をもつT-多様体上での不変除集合および標準除集合の凸幾何的特徴づけは何か？
• RQ2 多面体的除集合の係数を用いて、T-多様体上の除集合のアーリット性の必要十分条件は何か？
• RQ3 C∗-作用、ピカール数1、ゴレンシュタイン指数≤3をもつロジック・デル・ペッツォ曲面はどのようなものがあり、どのように分類できるか？
• RQ4 除集合ファンと多面体的除集合を用いて、特異Fano 3次元多様体の等変な滑らか化を明示的に記述できるか？
• RQ5 次元3、ピカール数1のT-多様体が滑らかで非トーリックであるための必要十分条件は何か？

主な発見

• 本稿は、ピカール数1、ゴレンシュタイン指数≤3のロジック・デル・ペッツォ C∗-曲面を完全に分類し、その指数が1および3に限られ、2には対応する曲面は存在しないことを示している。
• 任意の奇数のゴレンシュタイン指数ℓに対して、ピカール数1、指数ℓのロジック・デル・ペッツォ曲面の1パラメータ族が存在し、特定の多面体的係数をもつ多除集合を用いて構成される。
• デル・ペッツォ曲面dP6の錐である射影的錐は、2通りの異なる等変な滑らか化をもち、両方ともP1 × A1上の除集合ファンを用いて記述可能である。ここで、y=0,1,x,2xにおけるスライスが非自明である。
• 滑らか化族の一般ファイバーはP(TP2)に同型であり、y=0におけるファイバーはdP6の特異錐である。特異頂点の多面体のミンコフスキー分解が滑らか化を反映している。
• ピカール数1の滑らかなFano 3次元多様体でT²作用をもつものは、P³と滑らかな2次曲面Q³の2つに限られ、除集合ファンのテイルファンと頂点構造の解析により示された。
• 次元3、ピカール数1の滑らかなT-多様体は、除集合ファンに正確に2つの非自明なスライスをもち、それぞれが2つの頂点を持ち、テイルファンに1つの非整数平行移動をもつ。これは、格子自己同型を除いて一意な構成である。