[論文レビュー] Canonical embedded and non-embedded resolution of singularities for excellent two-dimensional schemes

Vincent Cossart, Uwe Jannsen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 50被引用数 65

ひとこと要約

この論文は、特異点集合に含まれる許容的中心における吹き上げを用いて、優れた2次元スキームの正規化可能でファンクター的な埋め込みおよび非埋め込み特異点の解消を確立する。主な貢献は、自己同型および局所化と両立する完全にファンクター的で、正規化可能な解消プロセスであり、非還元的スキームおよび正規交叉をなす境界除数へも拡張可能である。

ABSTRACT

We prove the existence of resolution of singularities for arbitrary (not necessarily reduced or irreducible) excellent two-dimensional schemes, via permissible blow-ups. The resolution is canonical, and functorial with respect to automorphisms or etale or Zariski localizations. We treat the embedded case as well as the non-embedded case, with or without a boundary, and we relate the diferent versions. In the non-embedded case, a boundary is a collection of locally principal closed subschemes. Our main tools are the stratifications by Hilbert-Samuel functions and the characteristic polyhedra introduced by H. Hironaka. In an appendix we show that the standard method used in characteristic zero - the theory of maximal contact - does not work for surfaces in positive characteristic (the counterexamples are hypersurfaces in affine threespace and work over any field of positive characteristic). In this new version, we treat the case of locally noetherian but not necessarily noetherian schemes in an appropriate way. Here one does not have a finite resolution sequence, but still a canonical resolution morphism by glueing. The same techniques allow to treat algebraic spaces and stacks.

研究の動機と目的

• 次元が2以下である還元的で優れたネーター的スキームの正規化可能でファンクター的な特異点解消を確立すること。
• 埋め込みおよび境界付き埋め込みの状況へ解消を拡張し、自己同型および局所化と両立することを保証すること。
• 非還元的スキームおよび必ずしもネーター的でないが局所的にネーター的であるスキームへ解消を一般化すること。
• 代表的スキームおよびファンクター性を用いて、次元≤2の代数的スタックのための解消枠組みを提供すること。
• 解消プロセスが正規交叉をなす除数との幾何的条件および厳密変換の性質を保つようにすること。

提案手法

• 特異点集合 $ D_i o (X_i)_{\text{sing}} $ に沿った許容的中心における有限個の吹き上げの列を構成し、$ D_i $ は正則的であり、$ X_i $ は $ D_i $ に沿って通常平坦である。
• 吹き上げの普遍性を用いてファンクター性と、局所化や自己同型を含むすべての準同型ととの両立性を保証する。
• 埋め込み状況における除数の厳密変換および完全変換を定義し、各吹き上げ後に $ B' $ が単純正規交叉除数のままであることを保証する。
• 境界除数 $ B $ との正規交叉条件を解消プロセス全体にわたって維持するために、$ B_i $-許容的中心を導入する。
• ネーター的開被覆を用いて局所ネーター的スキームに適用し、一意性により局所解消を貼り合わせる。
• 群札表現および基底変換を用いて、スキーム被覆上の解消のファンクター性を応用し、代数的スタックへの拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型および局所化と両立する正規化可能でファンクター的な特異点解消が、優れた2次元スキームに対して構成可能だろうか？
• RQ2 境界除数 $ B $ を伴う埋め込み解消をどのように達成できるか。特に、$ X $ の厳密変換が $ B $ と横断的に入り交わるようにするには？
• RQ3 $ X $ が非還元的である場合、解消プロセスにどのような修正が必要か。また、通常平坦性はどのように保たれるか？
• RQ4 ネーター的でないが局所的にネーター的であるスキームへ解消を拡張できるか？
• RQ5 代表的スキームおよび群札表現を用いて、次元≤2の代数的スタックへ正規化可能解消プロセスを拡張できるか？

主な発見

• 特異点集合に沿った許容的中心における正規化可能で有限個の吹き上げの列により、任意の還元的で優れた2次元スキームは正則スキームに解消される。
• 解消はファンクター的である：自己同型および局所化と可換であり、開部分集合上の解消の引き戻しはその部分集合の解消に一致する。
• 埋め込み状況では、$ X' $ および $ Z' $ はともに正則的になり、写像 $ \rho_X $ および $ \rho_Z $ は射影的で、全射であり、$ X_{\text{sing}} $ の外では同型である。
• 境界除数 $ B $ が存在する場合、完全変換 $ B' $ は単純正規交叉除数のままであり、$ X' $ と $ B' $ は横断的に交わる。
• 非還元的スキームでは、$ (X')_{\text{red}} $ は正則的で通常平坦であり、$ X' $ はその還元部分スキームに沿って通常平坦である。
• 次元≤2の代数的スタックへ解消が拡張可能である：$ X \to \frak{X} $ が代表的で、平坦で、幾何的に正則な被覆であり、$ X $ が次元≤2の優れたスキームであれば、$ \frak{X}' \to \frak{X} $ は固有で、全射的で、正則な解消である。