[論文レビュー] Canonical equivalence of quantum systems, multimode squeezed states and Robertson relation

D. A. Trifonov|ArXiv.org|Jan 9, 1998

Quantum Information and Cryptography参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、時間に依存する正準変換（CT）を用いて、N次元量子系の正準的等価性を確立し、任意の2つのハミルトニアンがこのような変換を通じて関連付けられることを証明する。線形時間に依存するCTが不確定性行列を対角化することを示し、多次元スリッピングコherent状態がロバートソンの不確定性関係を一意に最小化することを明らかにし、各モードに等しい光子数を持つ多次元量子状態のシミレクティックな枠組みを提供する。

ABSTRACT

It is shown that any two Hamiltonians H(t) and H'(t) of N dimensional quantum systems can be related by means of time-dependent canonical transformations (CT). The dynamical symmetry group of system with Hamiltonian H(t) coincides with the invariance group of H(t). Quadratic Hamiltonians can be diagonalized by means of linear time-dependent CT. The diagonalization can be explicitly carried out in the case of stationary and some nonstationary quadratic H. Linear CT can diagonalize the uncertainty matrix σ(ρ) for canonical variables p_k, q_j in any state ρ, i.e., σ(ρ) is symplectically congruent to a diagonal uncertainty matrix. For multimode squeezed canonical coherent states (CCS) and squeezed Fock states with equal photon numbers in each mode σis symplectic itself. It is proved that the multimode Robertson uncertainty relation is minimized only in squeezed CCS.

研究の動機と目的

• 時間に依存する正準変換（CT）を用いて、N次元量子系における任意の時間に依存するハミルトニアン H(t) と H'(t) を関連付ける一般枠組みを確立すること。
• 任意の量子状態における正準変数の不確定性行列の対角化に、線形正準変換が果たす役割を調査すること。
• ハミルトニアンの不変性群を特定することで、量子系の動的対称性構造を明確にすること。
• 多次元ロバートソンの不確定性関係が最小化される条件を特定し、特に多次元スリッピングコherent状態との関係を明らかにすること。
• 各モードに等しい光子数を持つ多次元スリッピングフォック状態の不確定性行列のシミレクティック性を分析すること。

提案手法

• 時間に依存する正準変換（CT）を用いて、任意の2つのN次元量子ハミルトニアン H(t) と H'(t) を関連付け、正準的等価性を確立する。
• 線形時間に依存するCTを適用して、特に定常状態および特定の非定常状態において、2次ハミルトニアンを明示的に対角化する。
• シミレクティック幾何学を用いて、正準変数の不確定性行列 σ(ρ) が線形CTを通じて対角行列にシミレクティック同値であることを示す。
• 多次元スリッピングコherent状態および等光子数を持つスリッピングフォック状態において、不確定性行列 σ が自らシミレクティック行列であることを示す。
• 多次元ロバートソンの不確定性関係を導出し、それが唯一、多次元スリッピングコherent状態で最小化されることを証明する。
• ハミルトニアンの不変性群を用いて、系の動的対称性群を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の2つのN次元量子ハミルトニアンは、時間に依存する正準変換によって関連付けられるか。この関係は、系の等価性に何を意味するか。
• RQ2 線形時間に依存する正準変換は、任意の量子状態における不確定性行列の対角化にどのように影響するか。
• RQ3 多次元ロバートソンの不確定性関係が最小化される条件は何か。どの量子状態がこれを達成するか。
• RQ4 多次元スリッピングコherent状態および等光子数を持つスリッピングフォック状態の不確定性行列のシミレクティック構造は何か。
• RQ5 ハミルトニアンの不変性群は、対応する量子系の動的対称性群とどのように関係するか。

主な発見

• 時間に依存するハミルトニアン H(t) と H'(t) を持つ任意の2つのN次元量子系は、時間に依存する正準変換を通じて正準的等価である。
• 2次ハミルトニアンは、特に定常状態および特定の非定常状態において、線形時間に依存する正準変換を用いて明示的に対角化可能である。
• 任意の状態 ρ に対して、正準変数の不確定性行列 σ(ρ) は、線形正準変換を通じて対角行列にシミレクティック同値である。
• 多次元スリッピングコherent状態および等光子数を持つスリッピングフォック状態において、不確定性行列 σ は自らシミレクティック行列である。
• 多次元ロバートソンの不確定性関係は、唯一、多次元スリッピングコherent状態で最小化され、他のスリッピング状態では達成されない。
• ハミルトニアン H(t) を持つ系の動的対称性群は、H(t) の不変性群と一致し、対称性とハミルトニアン構造との直接的な関連を確立する。