[論文レビュー] Canonical formulation for nonrelativistic Euler fluids and Schwinger type conditions

Rabin Banerjee, Arpan Krishna Mitra|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2015

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ノネールのエネルギー運動量テンソルを用いて、非相対論的非等エントロピー流体の新しい正準ラグランジュ形式を提示する。この形式により、流速の一般化されたクレブシュパラメータ化が導かれる。この手法により、シンプレクティック構造から直接非正準ハミルトニアン代数が得られ、応力テンソル成分間に新たなシュヴィンガー型関係が明らかになる。これらは保存則を保証し、相対論的場の理論的構造を非相対論的流体力学へ一般化する。

ABSTRACT

We present a new approach, based on Noether's energy-momentum tensor, to construct the lagrangian for nonrelativistic nonisentropic Euler fluids. An advantage of this approach is that it naturally provides a generalised Clebsh decomposition for the fluid velocity. This is used to develop a hamiltonian formulation inolving a noncanonical algebra. This algebra is very simply obtained from the symplectic structure. It is used to show that the components of the Noether's energy-momentum tensor satisfy certain Schwinger-type relations. These relations, which are reminiscent of corresponding relations in relativistic field theory, are new.

研究の動機と目的

• 従来の手法における任意の仮定を避けて、系の変数に基づく一貫した、非相対論的非等エントロピー流体のラグランジュ形式を構築すること。
• 流体力学における非正準括弧とカシミール不変量の存在により、ハミルトニアン形式からラグランジュ形式に移行する際の障害を解消すること。
• 非等エントロピー流体に拡張された、エントロピーを含む一般化されたクレブシュ分解を導出することにより、速度の物理的に妥当なパラメータ化を提供すること。
• シンプレクティック構造から直接非正準ハミルトニアン代数を確立し、流体力学的方程式と整合性を保つこと。
• 非相対論的流体理論における応力テンソル成分間に、以前に未知であったシュヴィンガー型代数的関係が存在することを明らかにし、その存在を証明すること。

提案手法

• ノネールによるエネルギー運動量テンソルの定義を用いてラグランジュ密度を構築し、既知のハミルトニアンおよび電流密度と整合することを保証する。
• 流体密度 ρ に対して共役変数 θ を導入し、ラグランジアンを 𝒟 = ρ∂₀θ − (½ρv² + V(ρ)) の形で得る。ここで速度 v は θ を用いて表現される。
• エントロピー S を含む一般化されたクレブシュパラメータ化を導出し、2通りの形（式(45)、(46)）を得る。そのうちの1つは新たに同定されたものである。
• ラグランジアンからシンプレクティック構造を構築し、そこから ρ、vᵢ およびそれらの共役変数間の非正準ポisson括弧を直接導出する。
• 導出された代数的構造を用いて、応力テンソルの成分が相対論的量子場理論におけるものと類似したシュヴィンガー型関係を満たすことを示す。
• シュヴィンガー型関係の統合形が、応力エネルギー保存則の時間成分を再現することを確認することで、整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非相対論的非等エントロピー流体に対して、任意の保存則や正準変換に依存しない一貫したラグランジュ形式をどのように構築できるか？
• RQ2 非等エントロピー流体におけるクレブシュパラメータ化の自然な一般化とは何か？また、これによりハミルトニアン構造はどのように変化するか？
• RQ3 流体力学における非正準ポisson括弧は、正準変換に依存せず、Euler形式のラグランジアンのシンプレクティック構造から体系的に導出可能か？
• RQ4 相対論的場の理論で知られていたシュヴィンガー型代数的関係は、非相対論的流体力学でも出現するのか？その物理的意味は何か？
• RQ5 本手法は、カシミール不変量や逆写像不能なシンプレクティック構造が存在するにもかかわらず、ハミルトニアン形式とラグランジュ形式の整合性をどのように保証するか？

主な発見

• 本稿では、エントロピーを含む非等エントロピー流体の一般化されたクレブシュパラメータ化を導出し、そのうちの1つの形は、文献に以前報告されていなかった新規結果である。
• ラグランジアンのシンプレクティック構造から直接、非正準ポアソン括弧が得られ、正準変換に依存しない体系的な導出が可能である。
• 応力テンソルの成分は、相対論的量子場理論におけるものに類似した新しいシュヴィンガー型関係を満たす。これらは代数的恒等式であり、非相対論的流体力学において初めて確立されたものである。
• これらのシュヴィンガー型関係は、応力テンソルの保存則を示唆しており、その統合形は標準的な応力エネルギー保存則の時間成分と一致する。
• カシミール不変量が逆写像を困難にする状況においても、Legendre変換を必要としないため、非正準流体系におけるラグランジュ形式化の長年の問題を解決する。
• 本形式は、クレブシュポテンシャルのゲージ的変換に対して安定であり、速度場およびハミルトニアン代数を保ち続けるため、物理的整合性が保証される。