[論文レビュー] Canonical Gibbs distribution and thermodynamics of mechanical systems with a finite number of degrees of freedom

Valery Vasil'evich Kozlov|ArXiv.org|Apr 4, 2005

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限自由度の力学系に対して、従来のエルゴドシティ仮定の代わりにポincareの手法に基づくより弱い非可積分性条件を用いて、ギブズ正準分布および熱力学法則の新しい導出を提案する。この条件下で、時間平均から自然にギブズ測度が出現し、有限Nに対しても統計平均を用いた厳密な導出が可能となり、第一および第二法則を含む熱力学的関係が得られる。具体的には、結合振子系を用いた明示的検証が行われる。

ABSTRACT

Traditional derivation of Gibbs canonical distribution and the justification of thermodynamics are based on the assumption concerning an isoenergetic ergodicity of a system of $n$ weakly interacting identical subsystems and passage to the limit $n o\infty$. In the presented work we develop another approach to these problems assuming that $n$ is fixed and $n\ge2$. The ergodic hypothesis (which frequently is not valid due to known results of the KAM-theory) is substituted by a weaker assumption that the perturbed system does not have additional first integrals independent of the energy integral. The proof of nonintegrability of perturbed Hamiltonian systems is based on the Poincare method. Moreover, we use the natural Gibbs assumption concerning a thermodynamic equilibrium of bsystems at vanishing interaction. The general results are applied to the system of the weakly connected pendula. The averaging with respect to the Gibbs measure allows to pass from usual dynamics of mechanical systems to the classical thermodynamic model.

研究の動機と目的

• 有限自由度の力学系に対するギブズ正準分布の厳密な根拠を提示すること、エルゴドシティ仮説に依存しないこと。
• 熱力学的極限（N → ∞）における等エネルギー的エルゴドシティの標準的仮定を、エネルギー以外の追加の積分が存在しないというより弱い条件に置き換えること。
• ギブズ測度の下での統計平均を用いて、有限Nの枠組み内で古典的熱力学法則（第一および第二法則）の有効性を確立すること。
• 弱く結合した振子系の明示的解析を通じて、本アプローチの適用可能性を示すこと。

提案手法

• エネルギー積分以外に追加の第一積分が存在しないという仮定の下、Poincaréの手法を用いて摂動されたハミルトニアン系の非可積分性を証明する。
• βは平均エネルギー E = ∫Hρ dx dy によって決定される、静的確率分布としてのギブズ測度 ρ(x,y) = e^(-βH)/Z を適用する。
• Birkhoff-Khinchinのエラゴド理論を用いて、有限Nに対してもギブズ測度の下で時間平均と集合平均を等しくする。
• 制約力の統計平均を用いて状態方程式を導出し、Λ_i = ⟨R_i⟩ = (1/β) ∂lnZ/∂λ_i を導入する。
• βω = d(βE + lnZ) を示すことにより第二法則を確立し、β = 1/(kT) が熱形式 ω に対する積分因子であることを証明する。
• パrameter l を有する振り子系でフレームワークを検証し、p = 1/(βl) および E = 1/(2β) を導出し、理想気体法則およびエネルギー分配則と整合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱力学的極限におけるエルゴドシティ仮定を仮定せず、ギブズ正準分布を厳密に導出できるか？
• RQ2 有限系において時間平均からギブズ測度が出現するためのより弱い力学的条件は何か？
• RQ3 有限自由度の力学的運動から第一および第二法則の熱力学をどのように導出できるか？
• RQ4 固定N ≥ 2 の弱く結合した系において、熱力学的関係はどの程度成立するか？
• RQ5 具体的な力学的モデル（例：結合振子）が、提案された枠組みの下で熱力学的挙動を示すことが証明できるか？

主な発見

• 摂動系にエネルギー以外の追加第一積分が存在しないという仮定のもと、時間平均からギブズ正準分布が自然に出現し、エルゴドシティの必要性が不要になる。
• 第一法則は ω = dE + ΣΛ_i dλ_i として回復され、固定βに対してωが正確に閉形式であるため、統計平均におけるエネルギー保存則が確認される。
• 第二法則はβωが正確な微分形式であることを示すことにより確立され、β = 1/(kT) が熱形式ωに対する積分因子であることが証明され、エントロピー S = βE + lnZ が定義される。
• 可変長lの振り子に対して、導出された状態方程式は p = 1/(βl) であり、これは理想気体法則 pV = kT と同等である。
• 内部エネルギーは E = 1/(2β) として得られ、エネルギー分配則と整合的であり、振り子系では p = 2E/l が得られる。
• 本フレームワークは、N → ∞ や完全なエルゴドシティを必要とせず、Poincaréの手法による非可積分性に依存する有限力学系における熱力学的挙動の正当化に成功している。