[論文レビュー] Canonical LQG operators and kinematical states for plane gravitational waves

Franz Hinterleitner|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2017

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、平面重力波の1+1次元ループ量子重力(LQG)モデルにおける修正されたフラックス・ホロノミー代数を導入し、標準的な交換関係を満たす正準演算子を構成する。U(1)表現と三重項セクターにおける符号依存作用を用いてホロノミーおよびフラックス演算子を再定義することで、有限な幾何的期待値とゆらぎを持つ運動論的解が得られ、従来の研究では物理的でないか定義されない状態であった問題が解決される。

ABSTRACT

In a 1+1 dimensional model of plane gravitational waves the flux-holonomy algebra of loop quantum gravity is modified in such a way that the new basic operators satisfy canonical commutation relations. Thanks to this construction it is possible to find kinematical solutions for unidirectional plane gravitational waves with finite geometric expectation values and fluctuations, which was problematic in a more conventional approach in a foregoing paper by the author and coauthors.

研究の動機と目的

• 平面重力波におけるループ量子重力(LQG)の運動論的状態が物理的でないか、定義されない幾何的期待値やゆらぎを示す問題に対処すること。
• 1+1次元のミディスーパースペースモデルにおいて、基本的演算子間の正準交換関係を満たす修正されたフラックス・ホロノミー代数を構築すること。
• 空間的向きのセクター（正の三重項変数対負の三重項変数）間で、量子演算子が一貫して作用することを保証し、空間反転に対して物理的同等性を保つこと。
• 両方向性制約に対する良好な運動論的解を、重ね合わせ状態と符号依存の演算子定義を用いて導出し、特に右向き波に対して有効にすること。
• Minkowski真空のゆらぎをモデル化するための動的解法の基盤を築くこと。制約演算子の構造とそれらが重ね合わせ状態に作用する様子を特定し、その意味を明らかにすること。

提案手法

• 群要素による乗算（U(1)ホロノミー）とそれらに関する微分演算子を基本的演算子として導入し、リー代数に基づく微分を置き換えることで、正準交換関係を保証する。
• 具体的に $\hat{U}_x$, $\hat{U}_y$, $\hat{\cal U}_\ell$, および $\hat{\cal E}$ のように、整数 $m, n, k$ でラベル付けされた状態に作用する修正されたホロノミーおよびフラックス演算子を定義し、量子数を1ずつシフトする作用をもつ。
• 正の三重項セクターと負の三重項セクターの両方で一貫した作用を保つために、符号依存の演算子対 $\hat{K}_1$ と $\tilde{K}_1$、および $\hat{\cal E}_\pm$ を導入する。
• 修正されたベッセル関数を用いて正規化を行うことで、フラックス演算子の固有状態 $|\kappa\rangle = \frac{1}{\sqrt{I_0(2\kappa)}} \sum_{k=0}^\infty \frac{\kappa^k}{k!} |k\rangle$ を構成し、重ね合わせ状態を定義する。
• 段階関数と符号関数を用いて、$m,n$ および $k_\pm$ の異なる象限における作用を統合し、$\widehat{\widehat{K}}_+$ を閉形式で導出する。
• 右向き波に特化した状態に対して、未定義の制約 $\hat{K}_+|\psi\rangle = 0$ を適用し、$\mathcal{D} = \kappa_+ - \kappa_-$ を用いて、有限な期待値と制御されたゆらぎを持つ物理的解が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1+1次元LQGにおける修正されたフラックス・ホロノミー代数は、三重項の符号の不確実性が存在する中でも、基本的演算子が正準交換関係を満たすように構築可能か？
• RQ2 一方向性平面重力波の運動論的状態は、有限な幾何的期待値とゆらぎを持つものとして存在するか？ これにより、従来の定式化における問題が解決されるか？
• RQ3 物理法則が空間反転に対して不変であるという事実を踏まえ、空間的向きのセクター（正の三重項対負の三重項）間で、量子演算子が一貫して作用する方法は何か？
• RQ4 重ね合わせ状態と符号依存の演算子定義を用いて、一方向性制約を閉形式で解くことは可能か？
• RQ5 Minkowski様の状態における真空ゆらぎの性質は何か？ これらは、バランスの取れた左・右向きの波状のゆらぎとして現れるか？

主な発見

• 修正された演算子構成により、一方向性平面重力波の運動論的解が、有限な幾何的期待値とゆらぎを持つものとして得られ、従来の手法の主要な制限が解決された。
• 大きな $\kappa$ に対して、面積の期待値 $\langle k \rangle \approx \kappa$ は古典的値に近づき、$\kappa = 1000$ のときのゆらぎ $\Delta k \approx 22$ は、弱い場の状態と整合する小さな相対的変動を示している。
• 正規化された固有状態 $|\kappa\rangle = \frac{1}{\sqrt{I_0(2\kappa)}} \sum_{k=0}^\infty \frac{\kappa^k}{k!} |k\rangle$ は、明確な幾何的性質と有限な分散を持つ重ね合わせ状態を提供する。
• 制約演算子 $\widehat{\widehat{K}}_+$ は、段階関数と符号関数を用いて閉形式で表現され、$m,n,k$ の異なるセクターにおける作用が一貫した物理的挙動を示すように統合されている。
• Minkowski真空は、$K_1=0$ と ${\cal E}'=0$ を同時に満たす解としてモデル化できない。なぜなら、唯一のこのような状態は $|0,0\rangle$ であり、これは体積と長さがゼロに対応するからである。
• 空間的ゆらぎ $\cal E$ が非自明な幾何を生じさせるために不可欠であり、これにより体積と長さのゆらぎが生じる。動的モデルでは、これらが小さな左・右向きの波状のゆらぎとして現れることが予想される。