[論文レビュー] Canonical metric on moduli spaces of log Calabi-Yau varieties

Hassan Jolany|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、グリーン＝シャプラ＝ヴァーファ＝ヨウの半平坦計量を用いて、対数ケーラー＝ヤウ多様体のモジュライ空間上のウェイリ＝ペトリュスキー計量の閉形式公式の新しい証明を提供する。対数ウェイリ＝ペトリュスキー計量のケーラー・ポテンシャルを確立し、$L^2$-拡張定理および半正値曲率をもつ特異ヘルメートィアン計量を用いて、相対ケーラー＝リッチフローと多様体の正則数の不変性との関係を示す。

ABSTRACT

In this paper, by applying Greene-Shapere-Vafa-Yau semi-flat metric, we give a new proof of closed formula of Weil-Petersson metric on moduli space of Calabi-Yau varieties.

研究の動機と目的

• 対数ケーラー＝ヤウ多様体のモジュライ空間上での対数ウェイリ＝ペトリュスキー計量のケーラー・ポテンシャルを導出すること。
• グリーン＝シャプラ＝ヴァーファ＝ヨウの半平坦計量構成を用いて、ウェイリ＝ペトリュスキー計量の閉形式公式を再証明すること。
• ウェイリ＝ペトリュスキー計量を相対ケーラー＝リッチフローおよびケーラー設定における正則数の不変性と結びつけること。
• ファイバー毎のケーラー＝アインシュタイン計量が半正値曲率電流をもたらす条件を確立し、$L^2$-拡張定理を可能にする。
• ケーラー＝アインシュタイン族の極限における標準的特異点の役割とモジュライ理論への影響を調査すること。

提案手法

• グリーン＝シャプラ＝ヴァーファ＝ヨウの半平坦計量構成を用いて、対数ケーラー＝ヤウ多様体のモジュライ空間上のウェイリ＝ペトリュスキー計量を分析する。
• 相対ケーラー＝リッチフロー方程式 $\frac{\partial\omega}{\partial t} = -\text{Ric}_{X/\Delta}(\omega) - \Phi\omega$ を用い、$\Phi$ をファイバー上で定数とする。これにより変形不変性を研究する。
• 正則バンドル $K_X$ 上に、曲率電流 $\Theta_h$ が半正値であるような特異ヘルメートィアン計量 $h^{\omega_{\text{SKE}}}$ を構成する。
• $L^2$-拡張定理に依拠して、ファイバー毎のケーラー＝アインシュタイン計量が半正値であれば、正則数の不変性が導かれる。
• ツジ＝ブーケルスムの方法を適用し、計量 $h$ が $h|_{X_t}$ でAZD（ほとんど everywhere 正値）であるならば、正則数の不変性が示されることを示す。
• ドナルドソン＝サンの定理を弱い支援として用いる：ファイバーの直径が一様に有界で、リッチ曲率が負であれば、中心ファイバーは至って標準的特異点をもつ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数ケーラー＝ヤウ多様体のモジュライ空間上のウェイリ＝ペトリュスキー計量は、半平坦幾何を用いて閉形式のケーラー・ポテンシャルで表現可能か？
• RQ2 相対ケーラー＝リッチフローが、ファイバー毎にケーラー＝アインシュタイン計量を半正値に導く条件は何か？
• RQ3 半正値曲率とAZD制限をもつ特異ヘルメートィアン計量の存在が、正則数の不変性とどのように関係するか？
• RQ4 ケーラー＝アインシュタイン多様体の退化において、ファイバーの直径が一様に有界であると、中心ファイバーの特異点はどのような関係にあるか？
• RQ5 ケーラー設定において、相対ケーラー＝リッチフローの解から、相対正則バンドルの半正値性がどの程度導かれるか？

主な発見

• 対数ケーラー＝ヤウ多様体のモジュライ空間上のウェイリ＝ペトリュスキー計量は、グリーン＝シャプラ＝ヴァーファ＝ヨウの半平坦計量構成を用いて導かれる閉形式のケーラー・ポテンシャルをもつ。
• ファイバー上で定数 $\Phi$ をもつ相対ケーラー＝リッチフローは、$e^{-t}\omega_0 + (1-e^{-t})c_1(K_{X/\Delta})$ の形の計量の族を生成し、これらはケーラー的で正の正則バンドルクラスに収束する。
• 相対ケーラー＝リッチフローに解が存在するならば、$c_1(K_{X/\Delta})$ は正であり、これは半正値なファイバー毎のケーラー＝アインシュタイン計量の存在を意味する。
• 正則バンドル $K_X$ 上に曲率電流が半正値で、各ファイバーでAZD制限をもつ特異ヘルメートィアン計量 $h^{\omega_{\text{SKE}}}$ を構成することで、$L^2$-拡張定理の適用が可能になる。
• $L^2$-拡張定理により、このような計量 $h$ が存在するとき、正則数の不変性が導かれる。これにより、解析的および代数的不変量との関係が確立される。
• 直径が一様に有界で、リッチ曲率が負である退化の中心ファイバー $X_0$ は、至って標準的特異点をもつ。これは、相対正則バンドルの半正値性が極限で標準的特異点をもたらすという予想を支持する。