[論文レビュー] Canonical Nonlinear Connections in the Multi-Time Hamilton Geometry

Gheorghe Atanasiu, Mircea Neagu|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Kronecker $h$-正則な多時刻ハミルトニアン関数に関連する、双対1階ジャンプバンドル $J^{1\bullet}(\tau,M)$ における標準的な非線形接続を導入し、古典的ハミルトニアン幾何学を多時刻場理論へと拡張する。この構成は、d-テンソル、多時刻の多様体的ポテンシャルの半スプレー、および幾何学的整合性を保証する変換則を用い、多時刻共変ハミルトニアン幾何学の基盤を提供する。

ABSTRACT

In this paper we study some geometrical objects (d-tensors, multi-time semisprays of polymomenta and nonlinear connections) on the dual 1-jet vector bundle $J^{1*}(\cal{T}, M) o \cal{T} imes M$. Some geometrical formulas, which connect the last two geometrical objects, are also derived. Finally, a canonical nonlinear connection produced by a Kronecker $h$-regular multi-time Hamiltonian is given.

研究の動機と目的

• 双対1階ジャンプバンドル $J^{1\bullet}(\tau,M)$ を用いた多時刻共変ハミルトニアン場理論の幾何的枠組みの構築。
• 双対テンソル、多時刻の多様体的ポテンシャルの半スプレー、および双対1階ジャンプ空間上の非線形接続の定義と特徴付け。
• Kronecker $h$-正則な多時刻ハミルトニアン関数から導かれる標準的非線形接続の確立。
• 余接バンドル上の古典的ハミルトニアン幾何学を、多パrameterおよび多様体的ポテンシャルの設定へ一般化すること。
• d- torsion および d-曲率を含む、完全な多時刻 d- 接続理論の基盤を築くこと。

提案手法

• 研究は、局所座標 $(t^a, x^i, p_i^a)$ を持つ、双対1階ジャンプベクトルバンドル $J^{1\bullet}(\tau,M) \to \tau \times M$ 上で実施される。
• 著者らは、基本的な垂直計量d-テンソル $G_{(a)(b)}^{(i)(j)} = h_{ab}(t^c)g^{ij}(t^c,x^k,p_k^c)$ を用いて、d-テンソルおよび多時刻の多様体的ポテンシャルの半スプレーを定義する。
• 非線形接続 $N = (\underset{1}{N}_{(i)b}^{(a)}, \underset{2}{N}_{(i)j}^{(a)})$ は、ハミルトニアン $H$ 及びその第二階微分から得られる局所関数により構成される。
• 時間的成分 $\underset{1}{N}_{(i)b}^{(a)} = \varkappa_{cb}^{a}p_i^c$ は、時間的計量 $h_{ab}$ のクリスティオーベル記号に依存する。
• 空間的成分 $\underset{2}{N}_{(i)j}^{(a)}$ は、一般化されたクリスティオーベル記号 $\Gamma_{ij}^k$ およびハミルトニアンの偏微分から導かれ、$T_{(i)j}^{(a)}$ がテンソル的変換性を保証する。
• 局所計算により、標準的非線形接続が所定の変換則を満たすことが証明され、$m=1$ の場合に古典的ハミルトニアン幾何学が一般化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多時刻ハミルトニアン系に対して、双対1階ジャンプバンドル上に標準的非線形接続をどのように定義できるか？
• RQ2 非線形接続成分がd-テンソルであることを保証する変換則は何か？
• RQ3 標準的非線形接続は、単一時刻の場合（$m=1$）にどのように古典的ハミルトニアン幾何学に還元されるか？
• RQ4 ハミルトニアンのKronecker $h$-正則性が、非線形接続の存在および正則性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 d- torsion および d-曲率を含む、多時刻共変ハミルトニアン幾何学におけるd-接続形式主義をどのように拡張できるか？

主な発見

• Kronecker $h$-正則な多時刻ハミルトニアン関数 $H$ から、標準的非線形接続 $N = (\underset{1}{N}_{(i)b}^{(a)}, \underset{2}{N}_{(i)j}^{(a)})$ が明示的に構成される。
• 時間的成分 $\underset{1}{N}_{(i)b}^{(a)} = \varkappa_{cb}^{a}p_i^c$ は、$\varkappa_{bc}^a$ の変換則により、正しくd-テンソルとして変換されることを確認した。
• 空間的成分 $\underset{2}{N}_{(i)j}^{(a)}$ は $-\Gamma_{ij}^k p_k^a + T_{(i)j}^{(a)}$ と表現され、ここで $T_{(i)j}^{(a)}$ はハミルトニアンおよび計量から導かれるd-テンソルである。
• $m=1$ の場合、空間的成分は古典的ハミルトニアン幾何学の標準的非線形接続に還元され、既知の結果と整合することが確認された。
• $\underset{2}{N}_{(i)j}^{(a)} = -\Gamma_{ij}^k p_k^a + \frac{h^{ab}}{4}(U_{ib\bullet j} + U_{jb\bullet i})$ という閉形式のテンソル的表現が、$U_{ib} = g_{ik}U_{(b)}^{(k)}$ および共変微分を用いて与えられ、空間的成分の明示的表現を提供する。
• 標準的非線形接続が $m \geq 2$ に対して適切に定義されており、一般の場合におけるd-接続の定義の障害を克服していることが示された。