[論文レビュー] Canonical orientations for moduli spaces of $G_2$-instantons with gauge group SU(m) or U(m)

Dominic Joyce, Markus Upmeier|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、コンパクトな $G_2$-多様体上の構造群 $Σμ(m)$ または $Σμ(m)$ を持つ $G_2$-インスタントンのモジュライ空間に対して、ディラック作用素の行列式に関連する方向性二重被覆の標準的自明化を構成することにより、標準的な方向性を確立する。固定されたディラック行列式の方向性と多様体上のフラッグ構造を用いて、著者たちは $G_2$-インスタントンのモジュライ空間に標準的な方向性を誘導し、ドナルドソン–セガール計画における符号付き数え上げ不変量の定義を可能にする。

ABSTRACT

Suppose $(X, g)$ is a compact, spin Riemannian 7-manifold, with Dirac operator $D$. Let $G$ be SU$(m)$ or U$(m)$, and $E o X$ be a rank $m$ complex bundle with $G$-structure. Write ${\mathcal B}_E$ for the infinite-dimensional moduli space of connections on $E$, modulo gauge. There is a natural principal ${\mathbb Z}_2$-bundle $O^D_E o{\mathcal B}_E$ parametrizing orientations of det$\,D_{{ m Ad }A}$ for twisted elliptic operators $D_{{ m Ad }A}$ at each $[A]$ in ${\mathcal B}_E$. A theorem of Walpuski shows $O^D_E$ is trivializable. We prove that if we choose an orientation for det$\,D$, and a flag structure on X in the sense of Joyce arXiv:1610.09836, then we can define canonical trivializations of $O^D_E$ for all such bundles $E o X$, satisfying natural compatibilities. Now let $(X,φ,g)$ be a compact $G_2$-manifold, with d$(*φ)=0$. Then we can consider moduli spaces ${\mathcal M}_E^{G_2}$ of $G_2$-instantons on $E o X$, which are smooth manifolds under suitable transversality conditions, and derived manifolds in general, with ${\mathcal M}_E^{G_2}\subset{\mathcal B}_E$. The restriction of $O^D_E$ to ${\mathcal M}_E^{G_2}$ is the ${\mathbb Z}_2$-bundle of orientations on ${\mathcal M}_E^{G_2}$. Thus, our theorem induces canonical orientations on all such $G_2$-instanton moduli spaces ${\mathcal M}_E^{G_2}$. This contributes to the Donaldson-Segal programme arXiv:0902.3239, which proposes defining enumerative invariants of $G_2$-manifolds $(X,φ,g)$ by counting moduli spaces ${\mathcal M}_E^{G_2}$, with signs depending on a choice of orientation. This paper is a sequel to Joyce-Tanaka-Upmeier arXiv:1811.01096, which develops the general theory of orientations on gauge-theoretic moduli spaces, and gives applications in dimensions 3,4,5 and 6. A third paper Cao-Gross-Joyce arXiv:1811.09658 studies orientations on moduli spaces in dimension 8.

研究の動機と目的

• ユニタリまたは特別ユニタリゲージ群をもつ $G_2$-インスタントンのモジュライ空間に対して一貫した方向性を選ぶ問題を解決すること。
• 任意の選択に依存しない、幾何学的に自然な方向性の標準的選択を、これらのモジュライ空間に与えること。
• ドナルドソン–セガール計画を支援するために、$G_2$-多様体の符号付き数え上げ不変量の構成を可能にすること。
• 低次元ゲージ理論からの標準的方 向性理論を次元7へと拡張し、特に $G_2$-インスタントンに対して適用すること。
• 導来幾何学とゲージ理論的モジュライ問題における除去定理と整合性のある枠組みを確立すること。

提案手法

• 接続のモジュライ空間 ${\mathcal{B}}_E$ 上の方向性二重被覆 $O^{ ot{\text{D}}^g}_E$ を、ねじれディラック作用素 $\not{\text{D}}^{g}_{\mathop{\rm Ad}A}$ の行列式ラインバンドルを用いて構成する。
• 固定された $\mathop{\rm det}\not{\text{D}}^g$ の方向性とスピン7-多様体 $X$ 上のフラッグ構造を用いて、$O^{ ot{\text{D}}^g}_E$ の標準的自明化を定義する。
• 除去定理と方向性同型のファンクター性を用いて、異なるバンドルや多様体間での整合性を保証する。
• 全モジュライ空間 ${\mathcal{B}}_E$ からの標準的自明化を制限により $G_2$-インスタントンの部分空間 ${\mathcal{M}}_E^{G_2}$ に移す。
• チューブ型近傍、スピン微分同相写像、バンドル同型を用いたグリューニング構成を用いて、異なるチャートや多様体間での方向性を比較する。
• $\mathop{\rm SU}(m)$ から $\mathop{\rm U}(m)$ バンドルへは写像 $E \mapsto E \oplus \Lambda^m E^*$ を用いて結果を拡張し、標準的方 向性構造を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造群 $\mathop{\rm SU}(m)$ または $\mathop{\rm U}(m)$ を持つ $G_2$-インスタントンのモジュライ空間に、標準的で幾何学的に自然な方向性をどのように定義できるか。
• RQ2 コンパクトなスピン7-多様体上で、ディラック作用素の行列式に関連する方向性二重被覆の標準的自明化を構成するために必要な幾何的データは何か。
• RQ3 $G_2$-インスタントンモジュライ空間の文脈において、グリューニングや除去の下で標準的方 向性はどのように振る舞うか。
• RQ4 $\mathop{\rm SU}(m)$ から $\mathop{\rm U}(m)$ バンドルへ、整合性とファンクター性を保つ形で、標準的方 向性の構成を拡張することは可能か。
• RQ5 フラッグ構造は、$G_2$-インスタントンモジュライ空間の方向性選択のあいまいさをどのように解消するか。

主な発見

• 固定された $\mathop{\rm det}\not{\text{D}}^g$ の方向性と $X$ 上のフラッグ構造が選ばれると、モジュライ空間 ${\mathcal{B}}_E$ 上の方向性二重被覆 $O^{ ot{\text{D}}^g}_E$ は標準的に自明化される。
• 標準的自明化は除去同型と整合的であり、異なるバンドルや多様体間での一貫性を保証する。
• 全モジュライ空間 ${\mathcal{B}}_E$ からの標準的方 向性を $G_2$-インスタントンの部分空間 ${\mathcal{M}}_E^{G_2}$ に制限することで、各々のモジュライ空間に標準的方 向性が得られる。
• ${\mathcal{M}}_E^{G_2}$ 上の標準的方 向性は任意の選択に依存せず、微分同相写像やバンドル操作に関してファンクター的である。
• $\mathop{\rm SU}(m)$ から $\mathop{\rm U}(m)$ バンドルへの構成は、写像 $E \mapsto E \oplus \Lambda^m E^*$ を用いて拡張され、標準的方 向性の性質が保存される。
• 標準的方 向性は、$G_2$-インスタントンの符号付き数え上げを一意に定義するものであり、$G_2$-多様体の数え上げ不変量のドナルドソン–セガール計画を支援する。