[論文レビュー] Canonical quantum-classical hybrid systems

V. Gil, L. L. Salcedo|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2016

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアンの力学的時間発展を保証するため、古典的ポisson括弧（古典的）と量子的交換子（量子的）を統一するLie括弧を導入することで、ハイブリッドな量子古典系の標準的枠組みを提案する。有限次元量子系では、強い公理のもとで括弧が一意に定まる。これに伴い、対応するシュレーディンガー描像の随伴括弧が導出されるが、時間発展演算子における密度行列の正定値性は保証されない。この形式的枠組みを、古典的座標と運動量を有するスピン1/2粒子に適用することで、明示的なスピン軌道力学が得られる。

ABSTRACT

We study compound systems with a classical sector and a quantum sector. Among other consistency conditions we require a canonical structure, that is, a Lie bracket for the dynamical evolution of hybrid observables in the Heisenberg picture, interpolating between the Poisson bracket and the commutator. Weak and strong postulates are proposed. We explicitly construct one such hybrid bracket when the Hilbert space of the quantum sector is finite dimensional and show that it is unique if the strong postulates are enforced. The adjoint bracket for the Schrodinger picture version of the dynamics is also obtained. Unfortunately, preservation of the positivity of the density matrix under the evolution is not guaranteed. The case of a particle with classical position and momentum and quantum spin-$\frac{1}{2}$ is discussed and the spin-orbit dynamics is worked out.

研究の動機と目的

• 古典的および量子的セクターを組み合わせた複合系の整合的力学的枠組みを確立すること。
• ハイブリッド系のハイゼンベルク描像において、ポアソン括弧と量子交換子の間を滑らかに補間する標準的Lie括弧を定義すること。
• ハイブリッド括弧構造に関する弱いおよび強い公理を用いて、数学的整合性を保証すること。
• シュレーディンガー描像における時間発展演算子に対応する随伴括弧を導出すること。
• 特に時間発展演算子における密度行列の正定値性の観点から、この枠組みの物理的妥当性を検討すること。

提案手法

• 可観測量の上に、古典的ポアソン構造と量子的交換子をLie代数的構成により統合したハイブリッド括弧を導入する。
• 古典的および量子的極限と整合するように、括弧の形を制約する弱いおよび強い公理を課す。
• 有限次元量子ヒルベルト空間に対して、強い公理のもとでハイブリッド括弧を明示的に構成し、その一意性を証明する。
• シュレーディンガー描像における時間発展演算子を記述する、対応する随伴括弧を導出する。
• 物理系にこの形式的枠組みを適用する：古典的座標と運動量を有するスピン1/2粒子に適用し、スピン軌道結合のダイナミクスを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイブリッド系において、古典的ポアソン括弧と量子的交換子を統合する整合的Lie括弧を定義できるか？
• RQ2 ハイブリッド括弧の数学的整合性を保証するための制約（弱いおよび強い公理）は何か？
• RQ3 強い公理のもとで、有限次元量子系におけるハイブリッド括弧は一意に定まるか？
• RQ4 ハイゼンベルク描像の括弧から随伴写像を介してシュレーディンガー描像のダイナミクスはどのように導かれるか？
• RQ5 提案されたダイナミクスは、時間発展演算子において密度行列の正定値性を保つのか？

主な発見

• 強い公理が課された有限次元量子系では、一意なハイブリッド括弧が構成される。
• シュレーディンガー描像のための随伴括弧が導出され、密度行列の時間発展演算子の記述が可能になる。
• この枠組みは、古典的座標と運動量を有する粒子と、スピン1/2の量子的自由度を有する系のダイナミクスを、スピン軌道結合を含めてうまく記述できる。
• ハイブリッド括弧は、ハイゼンベルク描像において古典的および量子的挙動の間を滑らかに補間する。
• 数学的整合性は保証されるが、時間発展演算子において密度行列の正定値性が保証されないため、モデルに物理的制限が存在する。