[論文レビュー] Canonical reduction of stabilizers for Artin stacks with good moduli spaces

Dan Edidin, David Rydh|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、元のスタックが滑らかでかつ特徴的がゼロでない一般のアーチンスタックに対し、キルワンの部分的特異点解消定理を一般化する。スタックの安定化子次元を段階的に減少させる、自然な系列の有理的同型写像を構成することで達成される。主な結果は、良いモジュライ空間に対して関手的で、射影的かつ有理的である特異点解消プロセスが得られ、元のスタックが滑らかであれば、ターム的商特異点の解消が得られる。

ABSTRACT

We present a complete generalization of Kirwan's partial desingularization theorem on quotients of smooth varieties. Precisely, we prove that if $\mathcal{X}$ is an irreducible Artin stack with stable good moduli space $\mathcal{X} o X$, then there is a canonical sequence of birational morphisms of Artin stacks $\mathcal{X}_n o \mathcal{X}_{n-1} o \ldots o \mathcal{X}_0 = \mathcal{X}$ with the following properties: (1) the maximum dimension of a stabilizer of a point of $\mathcal{X}_{k+1}$ is strictly smaller than the maximum dimension of a stabilizer of $\mathcal{X}_k$ and the final stack $\mathcal{X}_n$ has constant stabilizer dimension; (2) the morphisms $\mathcal{X}_{k+1} o \mathcal{X}_k$ induce projective and birational morphisms of good moduli spaces $X_{k+1} o X_{k}$. If in addition the stack $\mathcal{X}$ is smooth, then each of the intermediate stacks $\mathcal{X}_k$ is smooth and the final stack $\mathcal{X}_n$ is a gerbe over a tame stack. In this case the algebraic space $X_n$ has tame quotient singularities and is a partial desingularization of the good moduli space $X$. When $\mathcal{X}$ is smooth our result can be combined with D. Bergh's recent destackification theorem for tame stacks to obtain a full desingularization of the algebraic space $X$.

研究の動機と目的

• 一般のアーチンスタックに、良いモジュライ空間を備えた場合に、GIT商のキルワンの部分的特異点解消定理を拡張すること。
• スタックの有理的変形を用いて、良いモジュライ空間の特異点を自然かつ関手的に解消すること。
• 良いモジュライ空間の構造を保ちながら、アーチンスタックにおける安定化子次元の体系的削減を実現すること。
• 任意の特徴的で、ベルグのデスタック化定理と整合する枠組みを確立すること。
• 古典的GITの設定である滑らかで特徴的ゼロの状況を超えて、部分的特異点解消の概念を一般化すること。

提案手法

• 最大安定化子次元の部分集合に繰り返しブLOWアップを行うことで、アーチンスタックの自然な系列の有理的同型写像を構成する。
• スタック的かつモジュライに適合する方法でブLOWアップを実行するために、飽和ブLOWアップとライヒシュタイン変換を用いる。
• 安定化子の次元が最大である点をパラメトライズする閉部分スタックとして、$\mathcal{X}^{\mathrm{max}}$ を定義する。
• 各ブLOWアップが、関連する良いモジュライ空間上で射影的かつ有理的写像を誘導することを証明する。
• 良いモジュライ空間の局所構造定理を用いて、問題を局所的群作用に還元する。
• ガーブとリジディフィケーションの理論を用いて、安定化子の次元削減とターム的商特異点を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キルワンの部分的特異点解消定理は、線形作用を持つ滑らかで射影的多様体の範囲を超えて、任意のアーチンスタックに良いモジュライ空間を持つ場合に一般化可能か？
• RQ2 有理的性とモジュライ空間の射影的性を保ちながら、アーチンスタックにおける安定化子次元を自然かつ関手的に削減する方法はあるか？
• RQ3 特に線形再帰的制約がある中で、安定化子次元削減プロセスは正の特徴的でどのように振る舞うか？
• RQ4 このプロセスは、デスタック化定理と組み合わせることで、良いモジュライ空間の完全な特異点解消をもたらすか？
• RQ5 飽和ブLOWアップと、ドナルドソン＝トーマス理論で用いられる内因的ブLOWアップの正確な関係は何か？

主な発見

• 任意の既約アーチンスタック $\mathcal{X}$ とその安定な良いモジュライ空間 $\mathbf{X}$ に対して、最大安定化子次元が各ステップで厳密に減少する、自然な有理的同型写像の系列 $\mathcal{X}_n \to \cdots \to \mathcal{X}_0 = \mathcal{X}$ が存在する。
• 良いモジュライ空間上での誘導写像 $\mathbf{X}_{k+1} \to \mathbf{X}_k$ は射影的かつ有理的である。
• もし $\mathcal{X}$ が滑らかであれば、すべての中間スタック $\mathcal{X}_k$ も滑らかであり、最終的なスタック $\mathcal{X}_n$ は、$\mathbf{X}_n$ がターム的商特異点を持つターム的スタックのガーブである。
• $\mathcal{X}$ が滑らかであれば、最終的なモジュライ空間 $\mathbf{X}_n$ は $\mathbf{X}$ の部分的特異点解消であり、自然かつ関手的なプロセスによって特異点が解消される。
• 滑らかな場合、この結果とベルグのデスタック化定理を組み合わせることで、任意の特徴的で $\mathbf{X}$ の完全な特異点解消が得られる。
• キルワンの複雑なブLOWアップ解析を避けるために、スタック的設定で直接作業し、安定化子の線形再帰的条件のおかげで正の特徴的でも適用可能である。