[論文レビュー] Canonical self-similar tilings by IFS

Erin P. J. Pearse|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、R^d における合同な相似写像からなる反復関数系（IFS）によって生成される吸引集合 F の凸包の標準的タイリング T を導入する。IFS の自己相似構造を活用することで、タイリングは、システムのすべてのスケーリングデータを符号化する幾何学的に単純なタイルに凸包を分解し、1次元の場合を超える高次元複素次元理論の基盤を形成する。

ABSTRACT

Abstract. An iterated function system consisting of contractive similarity mappings has a unique attractor F ⊆ R d which is invariant under the action of the system, as was shown by Hutchinson [Hut]. This paper shows how the action of the function system naturally produces a tiling T of the convex hull of the attractor. These tiles form a collection of sets whose geometry is typically much simpler than that of F, yet retains key information about both F and Φ. In particular, the tiles encode all the scaling data of Φ. We give the construction, along with some examples and applications. The tiling T is the foundation for the higher-dimensional extension of the theory of complex dimensions which was developed in [La-vF1] for the case d = 1. 1.

研究の動機と目的

• R^d における合同な相似写像からなる IFS によって生成される吸引集合 F の凸包の標準的タイリング T を確立すること。
• タイリング T の幾何学的構造が、フラクタル吸引集合 F よりも単純であるが、本質的なスケーリング情報を保持することを示すこと。
• タイリング T が IFS のすべてのスケーリングデータを符号化しており、それが高次元への複素次元理論の拡張に利用できることを示すこと。
• このようなタイリングを生成する構成的枠組みを提供し、具体例を通じてその性質を説明すること。

提案手法

• Hutchinsonの定理に従い、IFS の作用における一意な不動集合として吸引集合 F ⊆ R^d を構築する。
• F の凸包を定義し、IFS の写像が誘導する自己相似構造を用いて、タイリング T に分解する。
• 合同な相似写像を用いて、IFS の階層的スケーリングを反映するタイル分割を生成する。
• IFS の関数グラフおよび自己相似関係と整合性を持つように、タイリング T が標準的であることを保証する。
• タイルが F よりも幾何学的に危単であるが、IFS のスケーリング比と組み合わせ論的構造の完全な情報を保持することを示す。
• タイリング枠組みを応用し、[La-vF1] で提起された 1次元における複素次元理論を高次元に拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^d における合同な相似写像からなる IFS を用いて、その吸引集合の凸包の標準的タイリングをどのように生成できるか。
• RQ2 タイリング T の構造に、IFS の幾何学的および力学的情報のうち、どのようなものが符号化されているか。
• RQ3 タイリング T は、吸引集合 F の解析をどのように単純化するが、同時にそのスケーリング特性を保持するか。
• RQ4 タイリング T は、どのようにして高次元への複素次元理論の拡張の基盤として機能するか。
• RQ5 タイリング T が IFS の作用に関して標準的かつ不変であるための条件は何か。

主な発見

• タイリング T は IFS から標準的に構築され、吸引集合 F の凸包を幾何学的に単純な集合に分割する。
• T に含まれるタイルは、元の IFS のすべてのスケーリングデータ、特に相似写像の比と組み合わせ論的構造を保持する。
• タイリング T は、1次元の場合を超える複素次元理論の自然な幾何的枠組みを提供する。
• この構成は IFS の作用に関して不変であり、システムの自己相似構造を尊重する。
• タイリングにより、[La-vF1] で 1次元に対して開発された複素次元理論の高次元一般化が可能になる。
• 本手法により、吸引集合 F の幾何学的性質が、より単純なタイルに基づく分解を通じて分析可能であることが明らかになる。