[論文レビュー] Canonical smoothing of compact Alexandrov surfaces via Ricci flow

Thomas Richard|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、下から有界な曲率をもつコンパクトなアレクサンドロフ多様体上で、リーマン多様体の距離がGromov-Hausdorff収束に基づく弱化された初期条件に基づいて、リッチフローの存在と一意性を確立する。このフローは初期データに関して滑らかに依存し、共形微同相写像を除いて一意的であることが示され、曲率の上限とポテンシャル論を用いて、非滑らかメトリック空間へのリッチフロー理論の拡張がなされる。

ABSTRACT

In this paper, we show existence and uniqueness of Ricci flow whose initial condition is a compact Alexandrov surface with curvature bounded from below. This requires a weakening of the notion of initial condition which is able to deal with a priori non-Riemannian metric spaces. As a by-product, we obtain that the Ricci flow of a surface depends smoothly on Gromov-Hausdorff perturbations of the initial condition.

研究の動機と目的

• 非滑らかメトリック空間へのリッチフロー理論の拡張、特に曲率が下から有界なコンパクトなアレクサンドロフ多様体を対象とする。
• 非リーマン多様体のメトリック空間に適用可能な、リッチフローの初期条件の一般化された概念を定義する。
• 曲率の上限とメトリック初期条件のもとで、リッチフローの一意性を確立する。
• 初期多様体のGromov-Hausdorff摂動に対して、リッチフローが滑らかに依存することを示す。
• 距離の収束を、曲率と面積測度を介してアレクサンドロフ多様体の内面的幾何に結びつける。

提案手法

• 弱化されたメトリック初期条件を用いる：フローのリーマン距離が t→0 のとき、多様体上の距離に一様収束する。
• 定曲率の背景計量 h を用いて、固定された共形類内にリッチフローを表現し、時間に依存する共形因子 w_i(x,t) を導入する。
• 非線形偏微分方程式 ∂w_i/∂t = Δ_h log(w_i) - 2K_h を用いて、共形因子の時間発展を記述する。
• 特異計量をモデル化するために、分布的ラプラシアンをもつ L^1 関数に対するポテンシャル論（Reshetnyak理論）を適用する。
• 曲率測度と面積測度の弱収束（定理 A.2）および距離収束における連続性（定理 A.4）を用いて、メトリック収束と幾何的極限の関係を確立する。
• Huberの定理（定理 A.6）を適用し、特異多様体間の等長写像が共形微同相写像であることを示し、一意性が共形同値を除いて成立することを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率が下から有界なコンパクトなアレクサンドロフ多様体において、その非滑らかメトリック構造にもかかわらず、リッチフローを一意に定義できるか？
• RQ2 リッチフローに非リーマン多様体のメトリック空間を適用可能な初期条件の概念をどのように一般化できるか？
• RQ3 初期多様体のGromov-Hausdorff収束が、曲率の上限のもとで、それらのリッチフローの滑らかな収束を意味するか？
• RQ4 距離収束のもとで、曲率と面積測度がアレクサンドロフ多様体の幾何にどの程度決定的か？
• RQ5 曲率の上限のもとで、初期メトリック条件がリッチフローの共形類を一意に決定するか？

主な発見

• 曲率が下から有界なコンパクトなアレクサンドロフ多様体上でのリッチフローは、共形微同相写像を除いて一意に存在する。
• メトリック初期条件は、リーマン距離が多様体の内面的距離に一様収束することによって定義される。
• 曲率の上限 K_{g(t)} ≥ -K により、体積と直径が一様に制御され、Gromov-Hausdorff収束によって初期多様体に収束することが保証される。
• 距離の収束のもとで、曲率測度と面積測度が連続的に変化することが、一様距離収束における測度の弱収束によって示された。
• リッチフローは、初期条件のGromov-Hausdorff摂動に対して滑らかに依存し、初期多様体がGromov-Hausdorff位相で収束するならば、それに対応するフローも滑らかに収束する。
• リッチフローの共形類は初期メトリック条件によって一意に決定され、任意の2つのこのようなフローは共形微同相写像によって関連づけられる。