[論文レビュー] Canonical Structure of the Teleparallel Equivalent of General Relativity

Petar Mitrić|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2019

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ディラックの制約形式を用いて、トロペルラリアン重力（TG）とその等価形式である一般相対性理論のトロペルラリアン同等形式（TEGR）の詳細な正準的解析を提示する。すべてのポアソン括弧を導出し、制約を第一種または第二種に分類し、局所的平行移動を含むゲージ対称性の生成子を同定し、物理的自由度の数を計算する。主な貢献は、TGおよびTEGRにおけるポアソン括弧のための新規な計算技法を含む、正準構造の体系的かつ完全に展開された導出である。制約代数とゲージ生成子の明示的結果が得られている。

ABSTRACT

In this paper we review the canonical analysis of constrained systems and apply it in the case of teleparallel equivalent of general relativity and teleparallel gravity. For each of them we find all the Poisson brackets, generators of gauge symmetries, as well as the number of degrees of freedom.

研究の動機と目的

• ディラックの制約形式を用いて、トロペルラリアン重力（TG）とその等価形式であるTEGRの正準構造を体系的に導出すること。
• TGおよびTEGRにおける制約とハミルトニアン密度の間のすべての非自明なポアソン括弧を計算し、完全な代数的枠組みを提供すること。
• 制約を第一種または第二種に分類し、両理論における物理的自由度の数を特定すること。
• カステラーニのアルゴリズムを用いて、第一種制約からゲージ対称性の生成子を体系的に構成し、局所的平行移動がTGにおける基本的対称性であることを明らかにすること。
• LAGRANGIAN形式では顕在化しないが、canonical枠組みでは明らかになるTEGRの追加対称性を示し、正準的アプローチの利点を強調すること。

提案手法

• 時空を空間的スライスと時間発展に分解できるように、ADM基底を採用することで、理論の3+1分解を可能にする。
• TGおよびTEGRのラグランジアン密度から、ディラックの正準形式を適用し、一次的および二次的制約を同定する。
• カステラーニのアルゴリズムを用いて、第一種制約からゲージ対称性の生成子を体系的に構成する。
• 明示的なテンソル恒等式とtetrad微積分を用いて、ハミルトニアン制約と運動量制約の間、および制約同士の間のすべてのポアソン括弧を導出する。
• ADM変数が$b^k{}_0$に依存することと、ヤコビの定理を用いて、ポアソン括弧の計算を簡略化・検証する。
• 特に、$ε^{\alpha 0\beta\gamma}_{ijmk}$とねじれ項に対して、反対称化および行列式恒等式を取り扱うための新規な計算手法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トロペルラリアン重力（TG）の完全な正準的構造、すなわちすべてのポアソン括弧と制約分類は何か？
• RQ2 TEGRにおけるハミルトニアン制約と運動量制約の間のポアソン括弧は、TGにおけるそれらとどのように異なり、理論の対称性をどのように明らかにするか？
• RQ3 TGおよびTEGRにおけるゲージ対称性の生成子は何か？また、それらは局所的平行移動や他の時空対称性とどのように関係するか？
• RQ4 なぜTEGRはラグランジアン形式では顕在化しない追加の対称性を示すのか？そして、正準的枠組みではどのようにその対称性が捉えられるか？
• RQ5 TGおよびTEGRに物理的自由度はいくつ存在するのか？また、制約代数からどのようにその数が決定されるか？

主な発見

• TGの正準ハミルトニアンは、tetradラグランジアンから構成され、すべての制約がディラックのアルゴリズムによって導出され、完全な一次的および二次的制約の集合が得られる。
• TGおよびTEGRにおけるすべての非自明なポアソン括弧が明示的に計算され、$\{\mathcal{H}_\alpha(x), \mathcal{H}_\beta(x')\}$、$\{\mathcal{H}_\alpha, \mathcal{H}'_\perp\}$、$\{\mathcal{H}_\perp, \mathcal{H}'_\perp\}$を含む結果が、空間的テンソルおよびねじれ項の形で表現される。
• TEGRにおける制約代数は、すべての制約が第一種であることを示し、理論のゲージ不変性を確認し、時空の各点に2つの物理的自由度が存在することを示す。
• TGにおけるゲージ対称性の生成子が局所的平行移動を生成することを示し、TGが局所的ローレンツおよび平行移動対称性の不変性から導かれる可能性を示唆する。
• TEGRでは、ラグランジアン形式では顕在化しない追加のゲージ対称性が同定され、正準的枠組みが隠れた構造を明らかにする力の高さを強調する。
• TGおよびTEGRにおける物理的自由度の数は2つであると判明し、一般相対性理論と一致しており、両理論が物理的内容のレベルで動的に同等であることを確認する。