[論文レビュー] Canonical systems and non-commutative geometry

Lieven Le Bruyn, Markus Reineke|ArXiv.org|Mar 25, 2003

Advanced Topics in Algebra被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、固定された入力次元 $m$ と出力次元 $p$ を持つ正準線形制御系のモジュライ空間の直和を、無限次元のグラスマンニアン $
mathrm{Gras}_{m+p}(\infty)$ に埋め込むことで、線形制御系と非可換幾何学を幾何的枠組みで結びつける。主な結果は、この直和が無限次元グラスマンニアンの開部分多様体をなしており、正準形と線形関係に基づく双対性構成によって埋め込まれることを示しており、あらゆる状態空間次元における制御系に対してグローバルな幾何的構造を提供する。

ABSTRACT

Inspired by ideas from non-commutative geometry, unions of moduli spaces of linear control systems are identified as open subsets of infinite Grassmannians.

研究の動機と目的

• 異なる状態空間次元にわたる正準線形制御系のモジュライ空間を、一つの幾何的対象に統一すること。
• 特にコンツェビッチの枠組みを用いた非可換幾何学的手法を制御理論に応用し、正準系を分類する単純表現を持つ非可換代数を同定すること。
• すべての正準系の空間を、無限次元グラスマンニアン $\mathrm{Gras}_{m+p}(\infty)$ の開部分集合として幾何的に実現することにより、階層的なグローバル構造を確立すること。

提案手法

• 入力が $m$ 個、出力が $p$ 個の矢印を持つクイバー上で、次元ベクトル $(1,n)$ の単純表現の同型類として正準系を表現する。
• $L_\Sigma = [B \; C^{tr} \; A]$ の列間の線形関係を用いて、完全可制御系のモジュライ空間 $\mathrm{sys}^{cc}_{m,n,p}$ からグラスマンニアン $\mathrm{Gras}_{m+p}(m+p+n)$ への準同型を構成する。
• 可制御性と可観測性の双対性を用いて $\mathrm{sys}^{cc}_{m,n,p}$ と $\mathrm{sys}^{co}_{m,n,p}$ を関連付け、正準系の全直和への埋め込みを拡張する。
• 埋め込みの像を、$\{m+1,\dots,m+p,m+p+n\} \subset I$ および $\{1,\dots,m,m+p+n\} \subset J$ を満たす多重指数 $I$ と $J$ によって定義される標準的アフィン開部分集合 $X_I$ と $X_J$ の共通部分集合として特徴付ける。
• モジュライ空間 $\mathrm{sys}^{cc}_{m,n,p}$ と $\mathrm{sys}^{co}_{m,n,p}$ のセル分解を、グラスマンニアン上へのベクトル束として用い、無限大直和のコホモロジー的および幾何的構造を裏付ける。
• $\mathbb{F}_q$ 上の $q$-二項係数の恒等式と数え上げ論法を用い、$\mathbb{F}_q$-有理点の数の母関数を導出し、無限次元グラスマンニアンのコホモロジーと整合することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる状態空間次元にわたる正準線形制御系のモジュライ空間を、一つの幾何的対象に統合できるか？
• RQ2 特にクイバー表現や形式的に滑らかな代数を用いた非可換幾何学的手法は、制御系の分類と構造化にどのように応用できるか？
• RQ3 直和 $\bigsqcup_n \mathrm{sys}^{c}_{m,n,p}$ のグローバルな幾何的性質は何か？ また、無限次元グラスマンニアンへの埋め込みはどのように実現されるか？
• RQ4 この埋め込みの像を定義する条件は何か？ そして、シューベルトセル分解や標準的アフィン開集合とどのように関係するか？

主な発見

• 正準系のモジュライ空間の直和 $\bigsqcup_n \mathrm{sys}^{c}_{m,n,p}$ は、無限次元グラスマンニアン $\mathrm{Gras}_{m+p}(\infty)$ の開部分多様体をなしており、システム行列の線形関係に基づく双対性構成によって埋め込まれる。
• 埋め込みの像は、$\{m+1,\dots,m+p,m+p+n\} \subset I$ および $\{1,\dots,m,m+p+n\} \subset J$ を満たす多重指数 $I$ と $J$ に対して定義される標準的アフィン開部分集合 $X_I$ と $X_J$ の共通部分集合として特徴付けられる。
• $\mathrm{sys}^{cc}_{m,n,p}$ のモジュライ空間は、グラスマンニアン $\mathrm{Gras}_n(m+n-1)$ 上のランク $(p+1)n$ のベクトル束と同一のセル分解を持つが、$m=n$ のときは自身がベクトル束ではない。
• $\mathrm{sys}^{cc}_{m,n,p}$ の $\mathbb{F}_q$-有理点の数の母関数は $\sum_{n=0}^\infty \#\mathrm{sys}^{cc}_{m,n,p}(\mathbb{F}_q) t^n = \prod_{i=1}^m \frac{1}{1 - q^{p+i}t}$ であり、これは $\mathrm{Gras}_{m+p}(\infty)$ のコホモロジーの因子と一致する。
• $\mathrm{sys}^{c}_{m,n,p}$ が準アフィン多様体であることが示され、クイバー表現論を用いてハゼウィンクルの結果を確認する。
• 本構成により、無限次元グラスマンニアンは、各ストラトムが固定された状態空間次元 $n$ に対応する正準系のモジュライ空間によって自然に階層化される。