[論文レビュー] Canonical transfer-function realization for Schur multipliers on the Drury-Arveson space and models for commuting row contractions

Joseph A. Ball, Vladimir Bolotnikov|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ドリュール＝アルヴェソン空間上のシュールクラスの乗数に対して、de Branges-Rovnyak空間のd変数版を構築し、複素d次元単位球上のコンtraction乗数の標準的転送関数実現を導入する。主な貢献は、特徴関数とアグラー分解を用いた可換な行収縮作用素のモデル理論であり、完全非ユニタリ（c.n.u.）可換行収縮作用素に対して、対 $(\theta_{T,nc}, \mathbb{K}_{T,nc})$ が完全なユニタリ不変量を形成することを確立している。

ABSTRACT

We develop a $d$-variable analog of the two-component de Bran-ges-Rovnyak reproducing kernel Hilbert space associated with a Schur-class function on the unit disk. In this generalization, the unit disk is replaced by the unit ball in $d$-dimensional complex Euclidean space, and the Schur class becomes the class of contractive multipliers on the Drury-Arveson space over the ball. We also develop some results on a model theory for commutative row contractions which are not necessarily completely noncoisometric (the case considered in earlier work of Bhattacharyya, Eschmeier and Sarkar)

研究の動機と目的

• ドリュール＝アルヴェソン空間上のシュールクラス乗数を用いて、単位円板から複素d次元単位球への古典的de Branges-Rovnyak理論の拡張。
• 多変数設定におけるドリュール＝アルヴェソン空間上のコンtraction乗数の標準的ユニタリ実現の構築。
• 完全非共等長（c.n.c.）の場合を越えた可換行収縮作用素のモデル理論の構築。
• 一般のc.n.u.可換行収縮作用素に対して、対 $(\theta_{T,nc}, \mathbb{K}_{T,nc})$ が完全なユニタリ不変量であることを確立すること。

提案手法

• ドリュール＝アルヴェソン空間とコンtraction乗数を用いて、2成分のde Branges-Rovnyakカーネルをd変数設定に一般化する。
• 形式的べき級数と非可換カーネルを用いて、作用素族の非可換アグラー分解を定義する。
• 非可換関数的モデルと[15]の特徴的対 $(S, L)$ を用いて、c.n.u.行収縮作用素の特徴関数 $\theta_{T,nc}$ を構成する。
• 形式的べき級数展開 $ (I - T Z_{\mathcal{X}}({\mathbf{z}})^*)^{-1} = \sum_{\alpha \in \mathcal{F}_d} {\mathbf{T}}^\alpha {\mathbf{z}}^\alpha $ を用いて、不変量を特定するモーメントを抽出する。
• 特徴関数とアグラー分解を通じてモデル間のユニタリ同値性を確立し、不変量対の完全性を証明する。
• [15]の結果を活用して、対 $(\theta_{T,nc}, \mathbb{K}_{T,nc})$ がc.n.u.行収縮作用素に対して完全なユニタリ不変量であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリュール＝アルヴェソン空間上のシュールクラス乗数に対して、多変数設定における標準的転送関数実現を構築できるか？
• RQ2 de Branges-Rovnyakモデル理論を単位円板から複素d次元単位球へどのように拡張できるか？
• RQ3 アグラー分解は、c.n.c.の場合を越えた可換行収縮作用素のモデル理論において果たす役割は何か？
• RQ4 特徴関数 $\theta_{T,nc}$ とアグラー核 $\mathbb{K}_{T,nc}$ は、一般のc.n.u.可換行収縮作用素に対して完全なユニタリ不変量か？
• RQ5 シュールクラス関数とそのアグラー分解対 $(S, \mathbb{K}_S)$ から直接的に非可換de Branges-Rovnyakモデル空間を構成できるか？

主な発見

• 本稿では、非可換Sz.-Nagy-Foias関数的モデルを用いて、ドリュール＝アルヴェソン空間上のコンtraction乗数の標準的ユニタリ実現を構築する。
• 2成分のアグラー分解と特徴関数 $\theta_{T,nc}$ は、c.n.u.可換行収縮作用素に対して完全なユニタリ不変量を形成する。
• 可換c.n.c.の場合には特徴関数 $\theta_T$ だけが完全不変量であるが、より広いクラスではアグラー分解が追加の情報を与える。
• モーメント $ D_T \mathcal{I}_i \mathbf{T}^\alpha \mathbf{T}^{*\beta} \mathcal{I}_j^* D_T $ はカーネル $ \widetilde{\Phi}_{ij} $ によって一意に決定され、作用素族の再構成が可能になる。
• 特徴関数 $\theta_{T,nc} $ とアグラー核 $\mathbb{K}_{T,nc} $ が、一般のc.n.u.可換行収縮作用素に対して完全なユニタリ不変量であることが示された。
• 原則として、対 $(S, \mathbb{K}_S)$ から非可換de Branges-Rovnyakモデル空間を直接構成することが可能であるが、詳細は今後の研究に委ねられている。