[論文レビュー] Canonical volume forms on compact Kähler manifolds

Hajime Tsuji|ArXiv.org|Jul 1, 2007

Geometry and complex manifolds被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、擬効型 canonical バンドルを備えたコンpact Kähler多様体の canonical バンドルに、半正則な曲率カレントをもつ正規化された特異ヘルミート計量を構成する。固定された Kähler 形式と体積正規化で制約された近似計量の極限手続きを用いて、補助的選択に依存せず、全 pluricanonical セクションを保存する一意的かつ内在的な計量、すなわち AZD（ほとんど everywhere 特異で、半正則な曲率と最大の乗数イデアル層をもつ計量）を確立する。

ABSTRACT

We construct a canonical singular hermitian metric with semipositive curvature current on the canonical line bundle of a compact Kähler manifold with pseudoeffective canonical bundle.

研究の動機と目的

• 射影的ファミリーからコンpact Kähler多様体への正規化された特異ヘルミート計量の構成を拡張すること。
• Kähler設定において分岐被覆が存在しないという課題に対処するため、特異的ホロモーラル対象の代わりに、擬・シューバーモーフィック対象の変動を用いること。
• canonical バンドルに、半正則な曲率カレントをもつ一意的かつ内在的な特異ヘルミート計量の存在を証明すること。
• その乗数イデアル層によって、すべての pluricanonical セクションが保存されることを保証すること。
• 構成が補助的 Kähler 形式の選択に依存しないこと。

提案手法

• すべての $ \Theta_h + \varepsilon \omega_0 \geq 0 $ を満たし、全質量が 1 である計量の点毎の下界として、特異ヘルミート計量 $ h_\varepsilon $ を定義する。
• 関連する体積形式 $ dV_\varepsilon = h_\varepsilon^{-1} $ を構成し、これらは有界かつ半正則である。
• $ \varepsilon \to 0 $ のときの $ dV_\varepsilon $ の上極限の上包あつまりとして $ d\tilde{V}_{\text{can}} $ を定義し、$ \tilde{h}_{\text{can}} = (d\tilde{V}_{\text{can}})^{-1} $ を設定する。
• 擬・シューバーモーフィック関数の部分平均値性質を用いて、$ \varepsilon $ に依存しない $ dV_\varepsilon $ の一様上界を証明する。
• 任意の半正則曲率をもつ特異計量との比較により、$ d\tilde{V}_{\text{can}} $ の下界を確立し、これが AZD であることを証明する。
• 計量形式の双リプシッツ同値性に基づく近似ファミリーの比較により、$ \omega_0 $ の選択に依存しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンpact Kähler多様体に、擬効型 canonical バンドルを備える場合に、半正則な曲率をもつ正規化された特異ヘルミート計量を構成できるか？
• RQ2 このような計量は、すべての pluricanonical セクションを保存するか、すなわちすべての $ m \geq 0 $ に対して $ H^0(X, \mathcal{O}_X(mK_X) \otimes \mathcal{I}(\tilde{h}_{\text{can}}^m)) \simeq H^0(X, \mathcal{O}_X(mK_X)) $ を満たすか？
• RQ3 得られる計量は、構成に用いられた補助的 Kähler 形式 $ \omega_0 $ に依存しないか？
• RQ4 この構成は $ \omega_0 $ に依存しないように適応可能であり、同じ正規化された計量をもたらすか？
• RQ5 正規化された計量は、射影的状況における超正規化 AZD とどのように関係するか？

主な発見

• 正規化された計量 $ \tilde{h}_{\text{can}} $ は、補助的 Kähler 形式 $ \omega_0 $ の選択に依存せず、コンpact Kähler多様体 $ X $ によって一意に決定される。
• 曲率カレント $ \Theta_{\tilde{h}_{\text{can}}} $ は、$ X $ 上のカレントとして半正則である。これは一般化された意味での正則性を保証する。
• すべての $ m \geq 0 $ に対して、全セクション空間 $ H^0(X, \mathcal{O}_X(mK_X) \otimes \mathcal{I}(\tilde{h}_{\text{can}}^m)) $ は $ H^0(X, \mathcal{O}_X(mK_X)) $ に同型であり、これが AZD であることを確認する。
• 体積形式 $ d\tilde{V}_{\text{can}} = \tilde{h}_{\text{can}}^{-1} $ は、任意の滑らかな体積形式によって一様に上から押さえられ、$ \varepsilon $ に依存しない。これにより、可積分性と正則性が保証される。
• 自動同型群に関して、$ d\tilde{V}_{\text{can}} $ は biholomorphism によって保存されるため、計量は $ X $ の自己同型群に関して不変である。
• 射影的状況では、$ \tilde{h}_{\text{can}} $ は超正規化 AZD $ \hat{h}_{\text{can}} $ によって上から押さえられ、かつ $ \hat{h}_{\text{can}} $ は $ \tilde{h}_{\text{can}} $ の定数倍によって上から押さえられる。