[論文レビュー] Cantor proximal systems with topological rank 2 are residually scrambled

Takashi Shimomura|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、位相的ランク2で固定点からなる唯一の極小集合をもつ、零次元で本質的に最小の力学系を調査する。Bratteli図と位相的ランク理論を用いて、すべてのこのような近接Cantor系が残留的にスクラムブルであることを証明し、一意的エルゴード性の条件を確立し、エルゴード測度の数を特徴づける。その数は混合性の性質に応じて1または2であることが示され、弱混合、位相的混合、一意的エルゴード性の各例が提示される。

ABSTRACT

Downarowicz and Maass (2008) proposed topological ranks for all homeomorphic Cantor minimal dynamical systems using properly ordered Bratteli diagrams. In this study, we adopt this definition to the case of all essentially minimal zero-dimensional systems. We consider the cases in which topological ranks are 2 and unique minimal sets are fixed points. Akin and Kolyada (2003), in their study of Li--Yorke sensitivity, showed that if the unique minimal set of an essentially minimal system is a fixed point, then the system must be proximal. However, a finite topological rank implies expansiveness; furthermore, in the case of proximal Cantor systems with topological rank 2, the expansiveness is always from the lowest degree. Rank 2 zero-dimensional systems might be thought as a part of the rank 1 transformations that are considered in the vast field of ergodic theory. However, these systems are also interesting from the perspective of topological chaos theory; e.g., in this study, we show that all proximal Cantor systems with topological rank 2 are residually scrambled. In addition, we investigate the finite invariant measures on these systems. Evidently, such systems have at most two ergodic measures. We present a necessary and sufficient condition for the unique ergodicity of these systems. In addition, we show that the number of ergodic measures of systems that are topologically mixing can be 1 and 2. Moreover, we present examples that are topologically weakly mixing, not topologically mixing, and uniquely ergodic. Finally, we show that the number of ergodic measures of systems that are not weakly mixing can be 1 and 2.

研究の動機と目的

• 固定点からなる唯一の極小集合をもつ、本質的に最小の零次元系への位相的ランク理論の拡張を目的とする。
• ランク2の近接Cantor系の力学的挙動（特にスクラムブル性とエルゴード性）を特定することを目的とする。
• 混合性の性質に基づいて、このような系におけるエルゴード測度の数を分類することを目的とする。
• 位相的弱混合、非混合、一意的エルゴード性を示す例を構成することを目的とする。

提案手法

• 零次元系における適切に順序付けられたBratteli図を用いた位相的ランクの定義を採用する。
• 固定点極小集合をもつ位相的ランク2の近接Cantor系の構造を分析する。
• AkinとKolyada（2003）による最小系におけるLi–Yorke感度と近接性に関する結果を応用する。
• 有限位相的ランクから導かれる拡張性の性質を用いて、系の力学的挙動を特徴づける。
• これらの系における一意的エルゴード性の必要十分条件を確立する。
• 弱混合、非混合、一意的エルゴード性の挙動を示す明示的例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的ランク2の近接Cantor系はすべて残留的にスクラムブルであるか？
• RQ2 固定点極小集合をもつランク2の零次元系で、一意的エルゴード性が保証される条件は何か？
• RQ3 位相的混合性は、このような系におけるエルゴード測度の数にどのように影響するか？
• RQ4 このクラスの系は弱混合、位相的混合、または一意的エルゴード的である可能性があるか。それぞれの状態を特徴づける要因は何か？
• RQ5 このタイプの非弱混合系において、可能なエルゴード測度の最大数はいくつか？

主な発見

• すべての位相的ランク2の近接Cantor系は残留的にスクラムブルであり、強い形の位相的カオスを確認する。
• このような系は、エルゴード測度を最大2つまでもつ。その数は混合性の性質に依存する。
• これらの系における一意的エルゴード性の必要十分条件が確立された。
• 位相的混合系は、1つまたは2つのエルゴード測度をもつことができる。
• 位相的弱混合、非位相的混合、一意的エルゴード性を示す例が存在する。
• 弱混合でない系では、エルゴード測度の数は1つまたは2つである可能性がある。