[論文レビュー] Cantor systems, piecewise translations and simple amenable groups

Kate Juschenko, Nicolas Monod|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、アーベル的でない無限単純群の例として、初めて知られている有限生成無限単純アーベル群を構成し、長年の未解決問題を解決した。ベルヌーイシフト空間上の$L^2$関数の族を導入し、$ℚ$上の部分的平行移動における不変性を分析することで、群$W(ℚ)$に不変平均が存在し、0を含む集合に集中することを証明した。これにより、最小カントール系の位相的フル群のアーベル性が示され、非同型なアーベル的でない単純群が非可算無限個存在することが得られた。

ABSTRACT

We provide the first examples of finitely generated simple groups that are amenable (and infinite). This follows from a general existence result on invariant states for piecewise-translations of the integers. The states are obtained by constructing a suitable family of densities on the classical Bernoulli space.

研究の動機と目的

• 有限生成無限単純アーベル群が存在するかどうかという未解決問題を解消すること。
• 任意の最小カントール系の位相的フル群がアーベル的であることの証明。
• ベルヌーイ空間$\{0,1\}^\mathbb{Z}$上に、部分的平行移動に対して特定の不変性を有する$L^2$関数の族を構成すること。
• $W(\mathbb{Z})$上に、0を含む集合に全重量を割り当てる不変平均の存在を確立することにより、フル群のアーベル性の証明を可能にすること。

提案手法

• 原点からの距離に基づく指数的減衰重みを用いて、ベルヌーイ空間$\{0,1\}^\mathbb{Z}$上に$L^2$関数$f_n$の族を定義する。
• $g \in W(\mathbb{Z})$による作用における$f_n$の不変性を測るため、内積$\langle g(f_n), f_n \rangle / \|f_n\|^2$を用い、$n \to \infty$で1に収束することを示す。
• 翻訳行動における符号付き偏差を定量化する関数$F_n(g)$を導入し、すべての$g \in W(\mathbb{Z})$に対して$F_n(g) \to 0$が成り立つことを証明する。
• $W(\mathbb{Z})$の部分群に対して「至る所に存在するパターン性」を確立し、局所的な群作用が$\mathbb{Z}$全体に密度的に繰り返されることを保証する。
• この性質のもとで、$\mathbb{N}$との有限対称差をとる安定化部分群が局所的に有限であることを証明し、これによりアーベル性が導かれる。
• $W(\mathbb{Z})$への埋め込みを介して、最小カントール系の位相的フル群$[[T]]$に不変平均の構成を適用し、アーベル性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての既知の例が単純でないか、アーベル的でない場合、有限生成無限単純アーベル群が存在しうるか？
• RQ2 最小カントール系の位相的フル群に不変平均が存在するか、グリゴルチキン＝メディネーツのアーベル性に関する予想を確認できるか？
• RQ3 ベルヌーイシフト上に、$n \to \infty$で部分的平行移動に対する不変性が1に近づく$L^2$関数の族を構成できるか？
• RQ4 $W(\mathbb{Z})$上に、0を含む有限集合の集合に全測度を割り当てる不変平均が存在するか？
• RQ5 $W(\mathbb{Z})$における「至る所に存在するパターン性」が、有限対称差の安定化部分群が局所的に有限であることを示し、これによりフル群のアーベル性が導かれるか？

主な発見

• 任意の最小カントール系の位相的フル群はアーベル的であり、グリゴルチキン＝メディネーツの予想が裏付けられた。
• 非同型な有限生成無限単純アーベル群が非可算無限個（具体的には$2^{\aleph_0}$個）存在する。
• $W(\mathbb{Z})$の有限部分集合の空間への作用は、0を含む集合に全重量を割り当てる不変平均を持つ。
• すべての$g \in W(\mathbb{Z})$に対して、内積$\langle g(f_n), f_n \rangle / \|f_n\|^2 \to 1$が成り立ち、関数族の漸近的不変性が示された。
• すべての$g \in W(\mathbb{Z})$に対して$F_n(g) \to 0$が成り立ち、これは内積の収束を証明するために不可欠である。
• $W(\mathbb{Z})$の部分群において「至る所に存在するパターン性」を満たす場合、$E \triangle \mathbb{N}$の安定化部分群は局所的に有限であり、これによりフル群のアーベル性が導かれる。