[論文レビュー] Cantorian Fractal Patterns, Quantum-Like Chaos and Prime Numbers in Atmospheric Flows

A. M. Selvam, Suvarna Fadnavis|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 1998

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ひとこと要約

本稿では、大気の流れがカントール的フラクタルパターンと長距離の空間的・時間的相関を示す量子的類似の混沌とした性質を有することを提案している。乱流の渦のエネルギースペクトルの分布は、z/lnzを介して素数の分布と数学的に同等である。モデルはフラクタル渦の階層構造、フィボナッチに基づく分岐構造、および数論を結びつけ、渦の正規化された累積分散が正規分布に従い、素数の数え上げ関数と一致することを示している。

ABSTRACT

Atmospheric flows exhibit cantorian fractal space-time fluctuations signifying long-range spatiotemporal correlations. A recently developed cell dynamical system model shows that such non-local connections are intrinsic to quantum-like chaos governing flow dynamics. The dynamical evolution of fractal structures can be quantified in terms of ordered energy flow described by mathematical functions which occur in the field of number theory. The quantum-like chaos in atmospheric flows can be quantified in terms of the following mathematical functions / concepts: (1) The fractal structure of the flow pattern is resolved into an overall logarithmic spiral trajectory with the quasiperiodic Penrose tiling pattern for the internal structure and is equivalent to a hierarchy of vortices. The incorporation of Fibonacci mathematical series, representative of ramified bifurcations, indicates ordered growth of fractal patterns. (2) The steady state emergence of progressively larger fractal structures incorporates unique primary perturbation domains of progressively increasing number equal to z/lnz where z, the length step growth stage is equal to the length scale ratio of large eddy to turbulent eddy. In number theory z/lnz gives the number of primes less than z. The model also predicts that z/lnz represents the normalised cumulative variance spectrum of the eddies and which follows statistical normal distribution. The important result of the study is that the prime number spectrum is the same as the eddy energy spectrum for quantum-like chaos in atmospheric flows.

研究の動機と目的

• 数論の概念を用いて、大気の流れにおけるフラクタル的・混沌的ダイナミクスの存在を調査すること。
• 大気乱流における長距離の空間的・時間的相関と量子的類似の振る舞いとの関連を探索すること。
• 渦のエネルギー分散の統計的分布が、素数の分布と一致するかどうかを特定すること。
• 対数螺旋とペンローズタイリングのパターンを用いて、大気の流れにおけるフラクタル構造の階層的成長をモデル化すること。
• 量子的類似の混沌の系における素数のスケーリング関数と渦のエネルギースペクトルとの数学的同等性を確立すること。

提案手法

• 非局所的で長距離の相関を捉えるセルダイナミカルシステムを用いて大気の流れをモデル化すること。
• フラクタル構造を、内部渦の組織に準周期的ペンローズタイリングを用いた対数螺旋として表現すること。
• フラクタル渦の成長における秩序立った分岐的プロセスをフィボナッチ数列で記述すること。
• 各スケール比zにおける一次摂動領域の数を関数z/lnzを用いて定量化すること。
• 渦の正規化された累積分散スペクトルを導出し、それが統計的正規分布に従うことを示すこと。
• 素数の数え上げ関数と乱流における渦のエネルギースペクトルとの間の数学的同型性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大気の流れは、長距離の空間的・時間的相関を有するカントール的フラクタルパターンを示すか？
• RQ2 乱流における大気の流れの渦のエネルギー分布は、素数の分布と数学的に同等か？
• RQ3 大気の流れにおける渦の階層的成長は、フィボナッチ数列とペンローズタイリングで記述可能か？
• RQ4 渦の正規化された累積分散が、モデルで予測されたように正規分布に従うか？
• RQ5 数論関数と量子的類似の混沌のダイナミクスとの間に、根本的な数学的同型性が存在するか？

主な発見

• 大気の流れのフラクタル構造は、準周期的ペンローズタイリングを内蔵した対数螺旋に分解され、渦の階層構造を示している。
• 各スケール比zにおける一次摂動領域の数はz/lnzで与えられ、素数の数え上げ関数と一致する。
• 渦の正規化された累積分散スペクトルは統計的正規分布に従う。
• 量子的類似の混沌の状態における渦のエネルギースペクトルは、素数のスケーリングスペクトルと数学的に同一である。
• モデルは、数論（素数）と流体力学（渦）との間の直接的な対応関係を確立し、複雑系における深い数学的統一性を示唆している。
• フィボナッチ数列は、フラクタルパターンの秩序立った成長を規定しており、流れにおける分岐的プロセスを反映している。