[論文レビュー] Capacities and weighted volumes of line bundles

Robert J. Berman, Sébastien Boucksom|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2008

Geometry and complex manifolds被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、コンpaktoなケーラー多様体のコンパクト部分集合に対する、エルミート正則線束のテンソル冪の全切断の体積成長を定量化する容量を導入する。主な結果は、均衡計量を含む混合マソン＝アーマー形式を用いて、この容量をエネルギー汎関数として表現したものであり、算術的等分布および解析的 torsion 渐近挙動への応用をもたらす。

ABSTRACT

Let (L, h) be an arbitrary Hermitian holomorphic line bundle over a compact Kähler manifold X. We introduce a natural capacity for compact subsets K of X, which describes the volume growth of the corresponding unit L ∞ (K)-ball of global sections of L ⊗k as k → ∞. The main theorem expresses this capacity as an energy functional, which is a mixed Monge-Ampère formula involving the corresponding equilibrium metric obtained as the nonnegatively curved envelope of h. As a corollary we obtain various expressions for the (weighted) Leja transfinite diameter in C n. We also study variational properties of the energy (proving convexity, differentiability etc...). We obtain as applications a generalization of Yuan’s arithmetic equidistribution theorem to big line bundles, and a description of the asymptotic behaviour of the Ray-Singer analytic torsion with respect to a smooth metric of arbitrary curvature.

研究の動機と目的

• コンパクトケーラー多様体上のエルミート正則線束のテンソル冪の全切断の漸近的体積成長を測る容量を定義すること。
• 初期エルミート計量によって上から有界な最大の非負曲率を持つ計量（均衡計量）を用いて、この容量をエネルギー汎関数として表現すること。
• 導入された容量を用いて、ユアンの算術的等分布定理をパワフルな線束へ一般化すること。
• 滑らかな任意の曲率を持つ計量の下でのレイ＝シンガー解析的 torsion の漸近的挙動を記述すること。

提案手法

• コンパクト部分集合 K ⊂ X における L⊗k の全切断の L∞-ノルム球の指数的成長率として容量を定義する。
• 初期エルミート計量 h によって上から有界であり、非負の曲率を持つ最大の計量として均衡計量を構成する。
• 均衡計量と L の曲率形式を含む混合マソン＝アーマー測度を用いて容量を表現する。
• 変分法を用いて、容量に付随するエネルギー汎関数の凸性および連続的微分可能性を証明する。
• 幾何的・解析的双対性を介して、C^n における重み付きレジャー転送直径の明示的公式を導出する。
• エネルギー汎関数を活用して、滑らかな計量の下でのレイ＝シンガー torsion の漸近的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 X のコンパクト部分集合に対して、L⊗k の全切断の漸近的体積成長はどのように定量化できるか？
• RQ2 曲率および L 上の計量を用いて、容量の正確な幾何学的・解析的表現は何か？
• RQ3 均衡計量から導かれるエネルギー汎関数は、コンパクト部分集合の容量とどのように関係するか？
• RQ4 この容量枠組みを用いて、ユアンの算術的等分布定理をパワフルな線束へ拡張可能か？
• RQ5 L の計量が任意の曲率を持つとき、レイ＝シンガー解析的 torsion の漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• コンパクト部分集合 K ⊂ X の容量は、均衡計量と L の曲率形式を含む混合マソン＝アーマー積分として与えられる。
• 容量に付随するエネルギー汎関数は凸的かつ連続的に微分可能であり、変分的解析が可能である。
• 幾何的双対性を介して、C^n における重み付きレジャー転送直径の明示的公式が容量によって得られる。
• この枠組みにより、パワフルな線束へとユアンの算術的等分布定理が一般化され、アーモニックな線束に限らない適用が可能になる。
• 滑らかな計量の下でのレイ＝シンガー解析的 torsion の漸近的挙動は、エネルギー汎関数によって完全に記述される。