[論文レビュー] Capacity of multivariate channels with multiplicative noise: I.Random matrix techniques and large-N expansions for full transfer matrices

Anirvan M. Sengupta, Partha P. Mitra|ArXiv.org|Oct 31, 2000

Wireless Communication Security Techniques参考文献 4被引用数 92

ひとこと要約

本稿では、乗法的フェージングと加法性のガウスノイズを伴う多次元無線チャネルのエルゴード容量を計算するために、大Nランダム行列理論の技術を開発する。チャネル状態情報のあらゆる仮定（完全、部分的、未知）におけるチャネル容量の正確な特徴付けを可能にする、対数行列式容量式のモーメントの正確な表現を導出する。

ABSTRACT

We study memoryless, discrete time, matrix channels with additive white Gaussian noise and input power constraints of the form $Y_i = \sum_j H_{ij} X_j + Z_i$, where $Y_i$ ,$X_j$ and $Z_i$ are complex, $i=1..m$, $j=1..n$, and $H$ is a complex $m imes n$ matrix with some degree of randomness in its entries. The additive Gaussian noise vector is assumed to have uncorrelated entries. Let $H$ be a full matrix (non-sparse) with pairwise correlations between matrix entries of the form $ E[H_{ik} H^*_{jl}] = {1\over n}C_{ij} D_{kl} $, where $C$,$D$ are positive definite Hermitian matrices. Simplicities arise in the limit of large matrix sizes (the so called large-N limit) which allow us to obtain several exact expressions relating to the channel capacity. We study the probability distribution of the quantity $ f(H) = \log \det (1+P H^{\dagger}S H) $. $S$ is non-negative definite and hermitian, with $Tr S=n$. Note that the expectation $E[f(H)]$, maximised over $S$, gives the capacity of the above channel with an input power constraint in the case $H$ is known at the receiver but not at the transmitter. For arbitrary $C$,$D$ exact expressions are obtained for the expectation and variance of $f(H)$ in the large matrix size limit. For $C=D=I$, where $I$ is the identity matrix, expressions are in addition obtained for the full moment generating function for arbitrary (finite) matrix size in the large signal to noise limit. Finally, we obtain the channel capacity where the channel matrix is partly known and partly unknown and of the form $αI+ βH$, $α,β$ being known constants and entries of $H$ i.i.d. Gaussian with variance $1/n$. Channels of the form described above are of interest for wireless transmission with multiple antennae and receivers.

研究の動機と目的

• 乗法的フェージングと加法性の白色ガウスノイズを伴うメモリレス行列チャネルの容量を、ランダム行列理論を用いて分析すること。
• 大行列サイズの極限における、対数行列式容量式の期待値および分散の正確な表現を導出すること。
• チャネル行列が部分的に知られている場合（例：αI + βHの形）および入力パワー制約がある場合のチャネル容量を調査すること。
• i.i.d. フェージングエントリで分散が既知のケースに結果を拡張し、実用的な無線チャネル仮定下での容量計算を可能にすること。

提案手法

• S = 入力共分散行列であるとき、f(H) = log det(1 + P H† S H) という確率変数の統計的性質を大Nランダム行列理論を用いて分析する。
• スパイラル積分法とモーメント生成関数技術を用いて、大m, n極限におけるf(H)の期待値および分散を計算する。
• 大信号対ノイズ比（SNR）極限における特別なケースC = D = I（単位行列）に対して、f(H)のモーメント生成関数を正確に導出する。
• 特に、振幅制約付き入力の場合に生じる高次元積分を評価するために、スパイラル近似を用いる。
• レプリカ法および生成関数技術を用いて、大行列次元の極限における容量を計算する。
• 変分法とスパイラル評価によるエントロピー項の評価を用いて、入力分布に関して相互情報量を最大化することで容量式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 i.i.d. フェージングと加法性のガウスノイズを伴う大規模MIMOシステムにおけるチャネル容量の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 一般の相関構造を有するチャネル行列に対して、大N極限における対数行列式容量式のモーメントはどのように振る舞うか？
• RQ3 チャネル行列が送信機で部分的に知られている場合、例えばi.i.d. Hエントリを有するαI + βHの場合の容量は何か？
• RQ4 振幅（ピークパワー）制約下での相互情報量はどのように振る舞い、大N極限におけるその結果としての容量は何か？
• RQ5 高SNR領域において、有限行列サイズに対して容量式の全モーメント生成関数を正確に計算できるか？

主な発見

• 任意の正定値ヘルミート行列CおよびDに対して、大N極限におけるf(H)の期待値および分散の正確な表現が導出された。
• C = D = Iの場合、大SNR極限における有限行列サイズのf(H)の全モーメント生成関数が正確に計算された。
• チャネル行列がαI + βHの形で、α, βが既知で、Hが分散1/nのi.i.d. ガウスエントリを持つ場合のチャネル容量が導出された。
• 大N極限において、振幅制約付き入力の場合のアンテナ1つあたりの容量はc = log[(1 + (α² + β²)P)/(1 + β²P)] であることが判明した。
• ランダム行列理論の普遍性特性のおかげで、結果はガウス分布に限らず、広範なチャネル分布クラスに対して普遍的に成り立つ。
• 容量式はスケーリング表記に依存しないが、本稿では入力および出力信号を1階のオーダーとし、Hを1/√nでスケーリングすることで、一貫した特異値挙動を維持する表記を採用している。