[論文レビュー] Capturing nonclassical shocks in nonlinear elastodynamic with a conservative finite volume scheme

Nina Aguillon|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2015

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非線形弾性動力学系における非古典的（非圧縮性）ショック波を正確に捉えるために、キネティック関係をリーマンソルバに組み込むことで、保存的有限体積スキームを提示する。このスキームはショック波周辺での数値拡散を回避し、非古典的波構造を保持し、ショック追跡メッシュを用いない長時間シミュレーションを正確に可能にする。Riemann問題および高分解能の漸近的挙動を示す滑らかな初期データにおいて検証済み。

ABSTRACT

For a model of nonlinear elastodynamics, we construct a finite volume scheme which is able to capture nonclassical shocks (also called undercompressive shocks). Those shocks verify an entropy inequality but are not admissible in the sense of Liu. They verify a kinetic relation which describes the jump, and keeps an information on the equilibrium between a vanishing dispersion and a vanishing diffusion. The scheme pre-sented here is by construction exact when the initial data is an isolated nonclassical shock. In general, it does not introduce any diffusion near shocks, and hence nonclas-sical solutions are correctly approximated. The method is fully conservative and does not use any shock-tracking mesh. This approach is tested and validated on several test cases. In particular, as the nonclassical shocks are not diffused at all, it is possible to obtain large time asymptotics.

研究の動機と目的

• 古典的エントロピー基準が失敗する非線形弾性動力学系において、非古典的ショック波を正確に捉える保存的有限体積スキームの開発を目的とする。
• 非古典的ショック波周辺での数値拡散を排除し、鋭い波形構造と正しい伝播速度を保持することを目的とする。
• メッシュの適応やショック追跡アルゴリズムに依存せずに、孤立した非古典的ショック波を正確に再構築することを目的とする。
• 長時間漸近挙動や滑らかな初期データを含む複雑なテストケースにおいて、スキームのロバスト性と精度を検証することを目的とする。
• 消滅する分散および粘性の極限における物理的一致性を保証するため、キネティック関係を保存的有限体積フレームワークに効果的に埋め込む、数値的に安定な枠組みを提供することを目的とする。

提案手法

• スキームはキネティック関係に基づくリーマンソルバを用い、非古典的ショック波を拡散・分散正則化の極限として特徴付ける。
• 再構成手順により、関数 $ w $ の符号変化を分析することで非古典的ショック波を検出する。
• 全質量および運動量を保存する保存的有限体積離散化を適用し、グローバル保存則を確保する。
• ショック波近傍では人工的粘性を回避し、非古典的波フロントの鋭い解像度を維持する。
• 滑らかな領域では、Lax–Friedrichsに類似したスキームに還元されるが、非再構成インターフェースでは高次スキーム（例：Nessyahu–Tadmor）を適用可能である。
• 再マップや移動メッシュを用いず、細胞ベースの検出と非古典的状態の再構成に依存したアルゴリズムを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 保存的有限体積スキームは、非線形弾性動力学における非古典的ショック波を、数値拡散を導入せずに捉えることができるか？
• RQ2 非古典的ショック波が持続し、相互作用する長時間シミュレーションにおいて、このスキームはどのように性能を発揮するか？
• RQ3 このスキームは孤立した非古典的ショック波を正確に再構成できるか？また、$ w $ が符号を変える場合の古典的ショック波の再構成における制限は何か？
• RQ4 ショック位置および波形構造の解像度において、Glimmのスキームのような確率的手法と比較して、このスキームはどのように差を示すか？
• RQ5 キネティック関係は、保存的有限体積フレームワークに効果的に埋め込まれるか？これにより、粘性および分散が消滅する極限における物理的一致性が保証されるか？

主な発見

• スキームは孤立した非古典的ショック波を正確に捉え、数値拡散を伴わず、その構造と速度を保持する。
• 長時間シミュレーションにおいても非古典的ショック波は鋭く、正しく位置づけられていることが示された。$ t = 40 $ において、単位区間あたり 8,000 個のセルを用いた計算でも同様の結果が得られた。
• 滑らかな初期データから非古典的波が出現することを再構築可能であり、100回のGlimmスキーム実行のうちたった31回でのみ観察された密なショック列の形成を、物理的に一貫した狭い構造として再現した。
• 最大散乱状態（$ \beta = 1 $）では、$ w $ に3回の符号変化が観察され、非古典的挙動およびゼロへの収束しないことが確認され、理論的期待と整合的であった。
• 再構成を適用した場合、標準的なLax–Friedrichsスキームよりも滑らかな領域で優れた性能を示し、再構成が行われない古典的ショック波においても、誤った拡散を回避した。
• 数値拡散が存在しないため、長時間漸近挙動の正確な再現が可能であり、従来のスキームと比較して顕著な利点を示した。