[論文レビュー] Capturing polynomial time using modular decomposition

Berit Grußien|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、誘導部分グラフを除外するグラフクラスの正規化を、線形順序付き二項関係で彩色された素数グラフの正規化に還元する『モジュラー分解定理』を導入する。この定理を応用することで、著者らは固定点論理に数え上げを組み込んだ論理（FPC）が順列グラフ上で多項式時間を捉えることを証明し、モジュラー分解木が対数空間で計算可能であることを示す。これにより、cographの認識と正規化も対数空間で可能となる。

ABSTRACT

The question of whether there is a logic that captures polynomial time is one of the main open problems in descriptive complexity theory and database theory. In 2010 Grohe showed that fixed point logic with counting captures polynomial time on all classes of graphs with excluded minors. We now consider classes of graphs with excluded induced subgraphs. For such graph classes, an effective graph decomposition, called modular decomposition, was introduced by Gallai in 1976. The graphs that are non-decomposable with respect to modular decomposition are called prime. We present a tool, the Modular Decomposition Theorem, that reduces (definable) canonization of a graph class C to (definable) canonization of the class of prime graphs of C that are colored with binary relations on a linearly ordered set. By an application of the Modular Decomposition Theorem, we show that fixed point logic with counting also captures polynomial time on the class of permutation graphs. As a side effect of the Modular Decomposition Theorem, we further obtain that the modular decomposition tree is computable in logarithmic space. It follows that cograph recognition and cograph canonization is computable in logarithmic space.

研究の動機と目的

• 誘導部分グラフを除外するグラフクラスに対して、多項式時間を捉える論理が存在するかという未解決問題に取り組む。
• グラフの除外最小部分グラフに関するグローブの結果を、誘導部分グラフを除外する場合にまで拡張する。
• 素数グラフと彩色された関係を用いて、このようなグラフクラスの定義可能な正規化手法を開発する。
• モジュラー分解木が対数空間で計算可能であることを確立する。
• cographの認識と正規化が対数空間にあることを示す。

提案手法

• グラフクラス C の正規化を、その素数グラフ（線形順序付き集合上の二項関係で彩色されたもの）の正規化に還元するための『モジュラー分解定理』を定式化する。
• この定理は、ギャライのモジュラー分解を活用しており、再帰的にグラフをモジュールに分解し、素数グラフを基本ケースとする。
• 著者らは、順列グラフに対してこの定理を適用し、二項関係の彩色制約下での素数グラフの構造を分析する。
• 固定点論理に数え上げを組み込んだ論理（FPC）を用いて、素数グラフ上の正規化手続きを定義し、FPCにおける表現可能性を保証する。
• 分解構造と定義可能な正規化プロセスから、モジュラー分解木の対数空間計算可能性が導かれる。
• 結果としてcographが直ちに得られる。なぜなら、cographは4頂点の誘導パスを含まないグラフであり、モジュラー分解に関して閉じているからである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 誘導部分グラフを除外するクラス（例：順列グラフ）に対して、固定点論理に数え上げを組み込んだ論理（FPC）は多項式時間の捕捉を可能とするか？
• RQ2 グラフのモジュラー分解木は対数空間で計算可能か？
• RQ3 線形順序付き集合上の二項関係で彩色された素数グラフへの正規化に還元可能か？
• RQ4 モジュラー分解定理は、除外最小部分グラフを超えるグラフクラスに対しても定義可能な正規化を可能にするか？
• RQ5 cographの認識と正規化の論理的・計算的複雑度は何か？

主な発見

• 固定点論理に数え上げを組み込んだ論理（FPC）は、順列グラフのクラスにおいて多項式時間の捕捉を達成し、グローブの除外最小部分グラフに関する結果を拡張する。
• 任意のグラフのモジュラー分解木は対数空間で計算可能であり、これは定義可能な正規化プロセスから導かれる。
• cographの認識と正規化は、ともに対数空間で計算可能であり、これは定理と分解構造の直接的帰結である。
• モジュラー分解定理は、彩色された関係を伴う素数グラフへの正規化問題を還元する一般枠組みを提供する。
• 線形順序付き集合上の二項関係による彩色下での素数グラフの定義可能な正規化は、全体のグラフクラスにおける完全な正規化を達成するのに十分である。
• 本稿は、モジュラー分解、定義可能な論理、空間制限付き計算の間の新たな関係を確立し、記述的複雑度理論を豊かにした。