[論文レビュー] Caractère d'isogénie et critères d'irréductibilité

Ágnes Dávid|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、数体上の楕円曲線の捩れ点に付随するガロア表現の非可約性について、明示的かつ一様な基準を確立する。特に、所定の半安定還元型をもつ無限族に対して、その基準を提示する。モモセの素数次数の同種写像に関する定理における非効果的上限を明示的 Bounds にし、ガロア表現の像内の同位写像に関する以前の一様な上限を精緻化し、特定の分岐および還元条件を満たす数体上での算術幾何学およびガロア表現論における定量的改善をもたらす。

ABSTRACT

This article deals with the Galois representation attached to elliptic curves with an isogeny of prime degree over a number field. We first determine uniform criteria for the irreducibility of Galois representations attached to elliptic curves in some infinite families, characterised by their reduction type at some fixed places of the base field. Then, we give an explicit form for a bound that appear in a theorem of Momose. Finally, we use these results to precise a previous theorem of the author about the homotheties contained in the image of the Galois representation.

研究の動機と目的

• 数体上の楕円曲線のガロア表現の非可約性について、固定された場所における半安定還元型によってパrameter化された一様な基準を特定すること。
• 数体上での素数次数の同種写像に関するモモセの定理における非効果的上限の明示的形を提供すること。
• 特に非可約な場合にあたって、ガロア表現の像内の同位写像に関する以前の一様な上限を精緻化すること。
• 数体 $K$ におけるマズールの非可約性の一様結果を $\mathbb{Q}$ から一般のガロア数体へ拡張し、還元型に関する明示的条件を用いること。

提案手法

• この手法は、ガロア数体 $K$ 上の楕円曲線の $p$-捩れ点におけるガロア群の作用に着目し、表現 $\varphi_{E,p}: G_K \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ を用いる。
• 有効なディオファントス近似および類体論における有効な上限から、$K$ の次数 $d_K$、リーマン数 $R_K$、クラス数 $h_K$、判別式 $\Delta_K$ を用いて、$C(K,n)$ という明示的 Bounds を導出する。
• 小さな素数上の場所における還元型（乗法的、通常、超特異）に基づいて場合分けを行い、局所的ガロア表現および単位群の作用を用いる。
• チボタレフ密度定理および類群のリーマン数に関する上限を用いて、所定の還元型を持つ場所の存在を制御する。
• 特にその像の対角成分および巡回的特徴の構造を用いて、同位写像の存在を分析する。
• セール、マズール、モモセによる $\varphi_{E,p}$ の漸近的全射性および同種写像の性質に関する結果を、明示的一致な上限を用いて精緻化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガロア数体 $K$ 上の楕円曲線の無限族 $\mathcal{E}$ に対して、$\varphi_{E,p}$ がすべての $p > C(K,\mathcal{E})$ に対して非可約であるような一様な上限 $C(K,\mathcal{E})$ を確立できるのはどのような場合か？
• RQ2 楕円曲線の還元条件が適切に制御されている場合、モモセの定理における素数次数の同種写像に関する非効果的上限を明示的にできるか？
• RQ3 ガロア表現が非可約でない場合に、$\varphi_{E,p}$ の像内にある同位写像の位数の最良の一様上限は何か？
• RQ4 小さな素数における所定の半安定還元型は、グローバルなガロア表現およびその非可約性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿では、ガロア数体 $K$ 上の楕円曲線に対して、$K$ で完全に分解する2つの異なる素数 $q, q'$ が存在し、$E$ が $q$ および $q'$ 上の場所で異なる半安定還元型をもつ場合、$p > C(K,M)$ のとき、$\varphi_{E,p}$ が非可約である一様な非可約性基準を確立する。
• 明示的 Bounds $C(K,n) = \left(n^{12h_K} C_2(K) + n^{6h_K}\right)^{2d_K}$ が導出され、ここで $C_2(K) = \exp(12d_K C_1(K) R_K)$ であり、$C_1(K)$ は $K$ の次数 $d_K$ のみに依存する。これはモモセの結果の構成的バージョンを提供する。
• 通常の場合、$p > C_K$ のとき、$\varphi_{E,p}$ の像はすべての同位写像の12乗を含む。これは以前の上限を改善する。
• 超特異の場合、$p > C_K$ のとき、$\varphi_{E,p}$ の像はすべての同位写像の4乗を含む。ここでも明示的 Bounds が得られる。
• 著者の以前の同位写像に関する一様な上限の研究を精緻化し、$K$ および $n$ に対する明示的依存関係を導入し、非可約でない場合にまで拡張する。
• これらの基準は有効的であり、$K$ の次数、リーマン数、クラス数、判別式にのみ依存するため、任意の与えられた $K$ に対して計算可能である。