[論文レビュー] Caractères de Chern, traces équivariantes et géométrie algébrique dérivée

Bertrand Toën, Gabriele Vezzosi|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、対称的モノイダル剛性∞-圏の新しい枠組みを用いて、∞-圏における導来チャーン類を構成し、サイクロトミックトレース射を構築する。主な貢献は、負の循環ホモロジー値をとるチャーン類の構成であり、これは古典的チャーン類を一般化し、dgカテゴリの族に対する新しい不変量を可能にする。これには、ガウス＝ミンスキー接続と、新しいホモロジー理論における2次チャーン類が含まれる。

ABSTRACT

The purpose of this work is to provide details about the construction of the Chern character for categorical sheaves mentioned in our previous work "Chern character, loop spaces and derived algebraic geometry". For this, we introduce and study the notion of rigid symmetric monoidal \infty-category. We show how trace maps can be constructed in this higher categorical setting, and using a recent work of Hopkins-Lurie we prove the existence of a "cyclic trace", which is the main ingredient in the construction of the Chern character. Our Chern character is then constructed for any pair (T,A), consisting of a \infty-topos T and a stack of rigid symmetric monoidal \infty-categories A on T. We propose two main applications of this construction. First of all, we show how to recover the Chern character of perfect complexes on schemes, with values in cyclic homology, and show how it can be extended to an interesting new Chern character for Artin stacks. Our second application provides invariants of famillies of dg-categories. A consequence of the existence of these invariants is the construction of a Gauss-Manin connexion on the cyclic homology complex of such a familly, generalizing previous constructions by Getzler and of Dolgushev-Tamarkin-Tsygan. Another consequence is the construction of the "character sheaf" associated to a representation of an algebraic group into a dg-category, which is a categorification of the character function of a linear representation. Finally, for a familly of saturated dg-categories we construct a "secondary Chern character", taking values in a new cohomology theory called "secondary cyclic homology".

研究の動機と目的

• ∞-圏を用いた導来代数幾何におけるチャーン類の構成の一般枠組みを構築すること。
• ベクトルバンドルおよび完全複体の古典的チャーン類を、アーチンスタックおよびdgカテゴリの設定に拡張すること。
• dgカテゴリの族に対する新しい不変量を構成すること。特に、周期的循環ホモロジー上のガウス＝ミンスキー接続を含む。
• 2次チャーン類を、新しいホモロジー理論と呼ばれる「2次循環ホモロジー」に値をとる形で定義すること。
• 代数的群の表現に対するキャラクター層を、dgカテゴリ的枠組みにおいてカテゴリカルに一般化すること。

提案手法

• トレース理論の基盤として、対称的モノイダル剛性∞-圏を導入し、その性質を調査すること。
• 自己準同型の∞-群体から単位対象の∞-群体へのサイクロトミックトレース射を構成すること。
• ホプキンズ＝ルーリエの分類定理を用いて、トレースのサイクロトミック不変性を確立すること。
• 任意のペア $(T, \mathcal{A})$ に対してチャーン類を定義すること。ここで $T$ は∞-トポスであり、$\mathcal{A}$ は $T$ 上の対称的モノイダル剛性∞-圏である。
• この構成をスキームおよびスタックの∞-トポスに適用し、負の循環ホモロジーにおける古典的チャーン類を回復・一般化すること。
• 飽和dgカテゴリに対して、2次循環ホモロジー値をとる2次チャーン類を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、高階圏論を用いて、完全複体のチャーン類をアーチンスタックおよびdgカテゴリの設定に一般化できるか。
• RQ2 導来代数幾何におけるトレース射の構成において、サイクロトミック不変性が果たす役割は何か。
• RQ3 トレース理論的手法を用いて、dgカテゴリの族の周期的循環ホモロジー上にガウス＝ミンスキー接続を構成できるか。
• RQ4 2次チャーン類の構造は何か。また、その値はどのホモロジー理論をとるか。
• RQ5 代数的群の表現に対するキャラクター層は、dgカテゴリ的枠組みにおいてどのようにカテゴリカルに一般化できるか。

主な発見

• 対称的モノイダル剛性∞-圏における自己準同型の∞-群体から単位対象の∞-群体へのサイクロトミックトレース射が構成された。
• このトレース射は、分類定理に由来する強いサイクロトミック不変性を満たす。
• 完全複体のチャーン類が負の循環ホモロジー値をとる形で回復され、アーチンスタックへと拡張された。
• コンパクト生成dgカテゴリの族の周期的循環ホモロジー上にガウス＝ミンスキー接続が構成された。
• 2次循環ホモロジーと呼ばれる新しいホモロジー理論値をとる2次チャーン類が構成され、[To-Ve1]の予測を裏付けた。
• 代数的群のdg表現に対するキャラクター層が、古典的キャラクター関数のカテゴリフィケーションとして構成された。