[論文レビュー] Caractères tordus des représentations admissibles

Bertrand Lemaire|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、非アルキメデス的局所体上の再帰的群の滑らかで非可約かつ適切な表現に対して、自己同型と特徴のねじれを伴う作用の下でのねじれた特性の理論を展開する。ねじれた特性分布がθ準正則元の開かつ稠密な部分集合上で局所定数的であることを証明し、放物型誘導およびジャケット制限の下でのその振る舞いを確立する。これはシュタインベルクの自己同型理論を有理点の観点から拡張するものである。

ABSTRACT

Let $F$ be a non--Archimedean locally compact field (${ m car}(F)\geq 0$), ${\bf G}$ be a connected reductive group defined over $F$, $θ$ be an $F$--automorphism of ${\bf G}$, and $ω$ be a character of ${\bf G}(F)$. We fix a Haar measure $dg$ on ${\bf G}(F)$. For a smooth irreducible $(θ,ω)$--stable complex representation $π$ of ${\bf G}(F)$, that is such that $π\circ θ\simeq π\otimes ω$, the choice of an isomorphism $A$ from $π\otimes ω$ to $π\circ θ$ defines a distribution $Θ_π^A$, called the \og ($A$--)twisted character of $π$\fg: for a compactly supported locally constant function $f$ on ${\bf G}(F)$, we put $Θ_π^A(f)={ m trace}(π(fdg)\circ A)$. In this paper, we study these distributions $Θ_π^A$, without any restrictive hypothesis on $F$, ${\bf G}$ or $θ$. We prove in particular that the restriction of $Θ_π^A$ on the open dense subset of ${\bf G}(F)$ formed of those elements which are $θ$--quasi--regular is given by a locally constant function, and we describe how this function behaves with respect to parabolic induction and Jacquet restriction. This leads us to take up again the Steinberg theory of automorphisms of an algebraic group, from a rationnal point of view.

研究の動機と目的

• 非アルキメデス的局所体上の再帰的群の滑らかで非可約かつ適切な表現に対するねじれた特性の包括的理論を構築すること。
• 放物型誘導およびジャケット制限の下でのねじれた特性分布の構造と振る舞いを分析すること。
• 特にF-有理構造の文脈において、代数群の自己同型に関するシュタインベルク理論を有理点の観点から再解釈すること。
• G(F)におけるθ準正則元の開かつ稠密な部分集合上でねじれた特性の局所定数性を記述すること。
• 体、群、自己同型に関して制限的仮定を課さないねじれた特性理論の基礎的結果を確立すること。

提案手法

• 滑らかで非可約かつ(θ,ω)-安定な表現πと同型写像A: π⊗ω → π∘θに対して、ねじれた特性分布Θπ^A(f) = trace(π(fdg) ∘ A)を定義する。
• G(F)にハール測度dgを固定し、コンパクト台付き局所定数関数fが表現空間に作用するように定義する。
• G(F)におけるθ準正則元の開かつ稠密な部分集合に制限することで、Θπ^Aの台と正則性を特徴付ける。
• ハリッシュ＝チャンドラの部分写像原理を用いて、軌道積分およびねじれた特性分布の振る舞いを分析する。
• ウェイの統合公式を適用し、ねじれた特性を軌道積分に関連づけ、構造的性質を導出する。
• 特に準単純的および準中心的自己同型に注目して、F-有理構造の観点からシュタインベルクの自己同型理論を再定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれた特性分布Θπ^Aは、G(F)におけるθ準正則元の開かつ稠密な部分集合上でどのように振る舞うか？
• RQ2 (θ,ω)-安定表現の文脈において、ねじれた特性と放物型誘導の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 ジャケット制限函手はねじれた特性分布とどのように作用するか？
• RQ4 代数群の自己同型に関するシュタインベルク理論は、どのように有理点（F-有理点）の観点から再解釈できるか？
• RQ5 同型写像Aはねじれた特性の定義において果たす役割は何か？また、その分布的構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• G(F)におけるθ準正則元の開かつ稠密な部分集合へのねじれた特性分布Θπ^Aの制限は、局所定数関数として与えられる。
• ねじれた特性分布Θπ^Aは放物型誘導と整合的であり、誘導表現の構造を用いてその振る舞いが明示的に記述可能である。
• ジャケット関手へのねじれた特性の制限は、重要な分布的性質を保ち、関連するθ準正則集合上で再び局所定数的である。
• 本稿は、特に準単純的および準中心的自己同型に対して、非アルキメデス的局所体F上でのシュタインベルク自己同型理論の有理的枠組みを確立する。
• ウェイの統合公式がねじれた設定に適応され、θ不変な共轭類上の軌道積分を用いてねじれた特性を表現可能となった。
• 体Fの特徴、再帰的群G、自己同型θに関して制限的仮定を課さないため、理論は広範に適用可能である。