[論文レビュー] Carathéodory, Helly and the others in the max-plus world

Stéphane Gaubert, Frédéric Meunier|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2008

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 4被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、古典的離散幾何学の定理のmax-plus版を確立し、特に彩色Carathéodoryの定理とTverbergの定理のmax-plus版を含む。また、Sierksmaの予想（max-plus設定におけるTverberg分割の最小数）を証明する。二部グラフ表現と一般性の議論を用いて、$ℝ_{ρ̠̄}̄^{d+1}$ 内の $(d+1)(q-1)+1$ 個の点のmax-plus Tverberg分割の数が $((q-1)!)^d$ 以上であることを示し、max-plus世界における予想を裏付ける。

ABSTRACT

Carathéodory's, Helly's and Radon's theorems are three basic results in discrete geometry. Their max-plus counterparts have been proved by various authors. In this paper, more advanced results in discrete geometry are shown to have also their max-plus counterparts: namely, the colorful Carathéodory theorem and the Tverberg theorem. A conjecture connected to the Tverberg theorem -- Sierksma's conjecture --, although still open for the usual convexity, is shown to be true in the max-plus settings.

研究の動機と目的

• 古典的離散幾何学の定理（Carathéodoryの定理、Hellyの定理、Radonの定理）をmax-plus代数的設定へ拡張すること。
• 凸集合の交わりを用いて、max-plus版の彩色Carathéodoryの定理を確立すること。
• 点集合の$q$重分割に関して、max-plus版のTverbergの定理を証明すること。
• unordered Tverberg分割の最小数に関するSierksmaの予想を、max-plus枠組みで解決し、$((q-1)!)^d$ の下界を証明すること。
• 二部グラフを用いたグラフ論的フレームワークを構築し、max-plus Tverberg分割の分析と数え上げを行うこと。

提案手法

• max-plus凸包をmax-plus線形結合 $\bm{x} = \max_i (\lambda_i + \bm{x}_i)$ で表現する。ただし $\max_i \lambda_i = 0$ である。
• 点集合とその凸包を、頂点集合 $U = X$（点）と $W = [d+1]$（座標）からなる二部グラフでモデル化する。
• 点 $\bm{x}_i$ と座標 $j$ の間に辺を張る条件を、$\lambda_i + x_{i,j} = x_j^*$ とする。ここで $x_j^*$ はTverberg点の$j$番目の成分である。
• 各部分集合 $U_i$ に対して $N(U_i) = W$ であるという近傍条件を用いて、有効なTverberg分割を特徴付ける。
• 二部グラフに $q$ 個の互いに素な部分集合 $U_1, \dots, U_q$ が存在し、全近傍被覆が成り立つ場合に、Corollary 1 を適用して分割数の下界を導出する。
• 一般性の仮定と、Tverberg係数と座標の一致に基づくエッジグラフにおけるサイクル解析による背理法を用いて、$(d+1)(q-1)+1$ 個未満の点ではconic Tverberg分割が存在しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 彩色Carathéodoryの定理はmax-plus設定へ拡張可能か？もし可能であれば、古典的バージョンとはどのように異なるか？
• RQ2 Tverbergの定理はmax-plus代数において有効な類似定理を有するか？特に、点集合を$q$個の部分集合に分割し、それらのmax-plus凸包が共通点を共有するという点で。
• RQ3 Sierksmaの予想（unordered Tverberg分割の最小数）はmax-plus設定において成り立つか？
• RQ4 max-plus凸包とTverberg点の構造的性質は、このような分割数に対する組合せ論的下界を可能にするか？
• RQ5 二部グラフ表現を用いて、max-plus Tverberg分割をモデル化し、数えるにはどうすればよいか？

主な発見

• max-plus版の彩色Carathéodoryの定理が成立する：$d+1$ 個の点集合の各凸包が凸集合 $C$ と交わるならば、各集合から1点ずつ選び、それらの凸包も $C$ と交わる。
• max-plus版のRadonの定理が確立された。$-\infty$ 成分を許容する場合でも成立し、非負成分を要請する既存の結果を拡張する。
• max-plus Tverbergの定理が証明された：$ℝ_{ρ̠̄}̄^{d+1}$ 内の $(d+1)(q-1)+1$ 個の点は、$q$ 個の互いに素な部分集合に分割可能であり、それらのmax-plus凸包は共通点を共有する。
• Sierksmaの予想はmax-plus設定で確認された：$N+1 = (d+1)(q-1)+1$ 個の点のunordered Tverberg分割の数は $((q-1)!)^d$ 以上であり、二部グラフの分解を用いた構成的証明が与えられた。
• 証明は一般性の仮定と、Tverberg係数と座標の一致に基づくエッジグラフにおけるサイクルに基づく背理法に依存する。
• 繰り返し適用されたグラフ論的補題を通じて、異なるTverberg分割数の下界 $q! \cdot ((q-1)!)^{d}$ が得られ、max-plus世界における予想の妥当性が確認された。