[論文レビュー] Cardinal p and a theorem of Pelczynski

Mikhail Matveev|ArXiv.org|Jun 26, 2000

Mathematics and Applications参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ωのコンパクト化が余りが位相同相である場合、それ自身も位相同相であるかどうかを調査し、ペルツィンスキーの可度量化のケースを非可度量化の設定へと拡張する。基数不変量—特にp—を用いて、τ < p のとき、余りがD^τに位相同相であるすべてのコンパクト化は互いに位相同相であることを示す。一方、τ = c のとき、2^c個の位相同相でないコンパクト化が存在することを示し、pの大きさに応じたきわめて明確な二分岐を示している。

ABSTRACT

We show that it is consistent that for some uncountable cardinal k, all compactifications of the countable discrete space with remainders homeomorphic to $D^k$ are homeomorphic to each other. On the other hand, there are $2^c$ pairwise non-homeomorphic compactifications of the countable discrete space with remainders homeomorphic to $D^c$ (where c is the cardinality of the continuum).

研究の動機と目的

• 可度量化のコンパクト化に関するペルツィンスキーの定理を、非可度量化の余りへと拡張すること。
• 余りが非可度量化のとき、余りが位相同相であるωのコンパクト化は、必然的に位相同相であるかを同定すること。
• このようなコンパクト化を分類する際に基数不変量pが果たす役割を調査すること。
• 余りにおけるクロージャー集合のブール代数の構造とその同型写像を分析すること。
• 同じ余りD^cを持つ非可算個の位相同相でないコンパクト化を構成すること。

提案手法

• P(ω)/finのブール代数を用い、独立基底をもつ部分代数間の同型写像を分析する。
• 基数不変量pを用いて、集合族における擬似交差集合の存在を制御する。
• 代数のサイズがp未満である場合、ωの置換が代数同型を生成することを構成する。
• 逐次的分離可能性とその否定を用いて、コンパクト化を区別する。
• チェハ＝ストーンコンパクト化と商構成法を用いて、余りがD^cである位相同相でないコンパクト化を構成する。
• アレクサンドロフの二重化構成法を用いて、ωから得られる極限点がちょうどn個であるようなコンパクト化を、nを変化させることで生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ωのコンパクト化が余りが位相同相である場合、どのような条件下でそれ自身も位相同相になるか？
• RQ2 ペルツィンスキーの可度量化に関する結果は、非可度量化の余りへと拡張可能か？
• RQ3 基数不変量pは、余りによって分類されるωのコンパクト化において、果たす役割は何か？
• RQ4 同じ余りD^cを持つ非可算個の位相同相でないコンパクト化が存在するか？
• RQ5 任意のk < 2^cに対して、正確にk個の非同相型のコンパクト化を構成可能か？

主な発見

• τ < p ならば、余りがD^τに位相同相であるωのすべてのコンパクト化は、互いに位相同相である。
• τ = c ならば、余りがD^cに位相同相であるωのコンパクト化が2^c個、互いに位相同相でないものとして存在する。
• P(ω)/finの部分代数間の同型写像で、サイズがp未満の独立基底をもつものすべては、ωの置換によって誘導される。
• 余りがD^p3である非可算個の位相同相でないコンパクト化が存在し、特に各有限n ≥ 1に対して1つずつ存在する。
• 各n ∈ ℕに対して、余りがD^p3であるようなωのコンパクト化が存在し、その中でωからの列の極限となる余りの点がちょうどn個である。これにより、異なるnでは非同相であることが保証される。