[論文レビュー] Carleman estimate for linear viscoelasticity equations and an inverse source problem

Oleg Imanuvilov, Masahiro Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、解にコンパクトな台を仮定しない線形粘弾性系に対して、分離された発散と回転成分の境界条件を扱うために擬微分作用素を用いることで、Carleman推定量を確立する。この推定量を応用し、長時間区間における側面境界でのノイマンデータから空間的に変化する源因子を一意に特定できるという逆源問題におけるリプシッツ安定性を証明する。

ABSTRACT

We consider the linear system of viscoelasticity with the homogeneous Dirichlet boundary condition. First we prove a Carleman estimate with boundary values of solutions of viscoelasticity system. Since a solution $u$ under consideration is not assumed to have compact support, in the decoupling of the Lamé operator by introducing div $u$ and rot $u$, we have no boundary condition for them, so that we have to carry out arguments by a pseudodifferential operator. Second we apply the Carleman estimate to an inverse source problem of determining a spatially varying factor of the external source in the linear viscoelastitiy by extra Neumann data on the lateral subboundary over a sufficiently long time interval and establish the stability estimate.

研究の動機と目的

• 解が空間的・時空的にコンパクトな台を持たない場合の線形粘弾性系に対するCarleman推定量の構築を目的とする。
• ラメ作用素と粘弾性モデルにおける積分的記憶項の強い結合性に対処する。
• 外部力の空間的に変化する因子を、ノイマン境界測定値を用いて同定する逆源問題における安定性の確立を目的とする。
• 非コンパクトな台を持つ系へCarleman推定量を拡張し、現実的な観測条件下での逆問題解析を可能にする。

提案手法

• 発散 u と回転 u の成分を分離した系における境界条件を扱うために、擬微分作用素を用いた粘弾性系のCarleman推定量を導出する。
• 変位ベクトルの発散と回転を導入することでラメ作用素を分離し、それらを独立変数として扱う。
• 大きなパrameterを用いた重み付き $ L^2 $-ノルム推定量を用い、粘弾性作用素の完全な構造を組み込むことで解を制御する。
• 境界上のノイマンデータを用いて、十分に長い時間区間における逆源問題にCarleman推定量を適用する。
• 重み付きソボレフ空間におけるエネルギー推定量とG 5arding型不等式を用いて安定性推定量を確立する。
• 切り捨て関数と記号推定量を用い、非コンパクトな台と境界層効果に起因する誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解が時空的にコンパクトな台を持たない線形粘弾性系に対して、Carleman推定量を確立できるか？
• RQ2 コンパクトな台が存在しない状況下で、ラメ作用素の強い結合性はどのように扱えるか？
• RQ3 十分に長い時間区間における側面境界でのノイマンデータのみを用いて、外部源の空間的に変化する因子を一意に特定できるか？
• RQ4 このような部分的な境界観測条件下で、粘弾性系の逆源問題に対して得られる安定性推定量は何か？
• RQ5 擬微分作用素技術は、分離された系における発散および回転成分の境界条件の欠如を効果的に扱えるか？

主な発見

• 解にコンパクトな台を仮定しない線形粘弾性系に対して、発散および回転成分を分離した状態で、擬微分作用素を用いてCarleman推定量を確立した。
• Carleman推定量は大きなパrameterに関して一様に成り立ち、重み付き $ L^2 $-ノルムで解を制御でき、観測可能性および一意性の結果を得られる。
• 逆源問題におけるリプシッツ安定性が証明された：外部力の空間的に変化する因子は、十分に長い時間区間における側面境界でのノイマンデータから一意に特定可能である。
• 安定性推定量は、観測部分境界と源の台との距離に依存し、幾何学的構造および係数の正則性に明示的な依存関係を示す。
• 符号が $ C^2_{cl}S^{2,s} $ に属する擬微分作用素に対するG 5arding型不等式に依拠し、切り捨て関数とソボレフノルムを用いて誤差項を制御する。
• 粘弾性方程式の積分的記憶項は、空間的・時空的関数 $ \widetilde{\lambda}, \widetilde{\mu} $ を滑らかであるとみなすことにより取り扱った。