[論文レビュー] Carleman Estimates and null controllability of coupled degenerate systems

El Mustapha Ait Ben Hassi, Farid Ammar Khodja+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2011

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$\alpha_1$ と $\alpha_2$ から導かれる $\beta$ を用いて、共通の重み関数 $\varphi(t,x) = \frac{\lambda(x^{2-\beta}-d)}{t^k(T-t)^k}$ を用いて、新たなグローバル・カルレマン推定式を構築することにより、2つの異なる拡散係数を有する結合された退化放物型系のゼロ制御可能性を確立する。主な貢献は、先行研究が $\alpha_1 = \alpha_2$ を必要としていた制限を克服し、統一された重み関数を導入し、$\gamma < 1$ の負の値に対してもハーディー＝パオンカーリー不等式を証明することで、一般の結合された退化系における観測可能性およびゼロ制御可能性の結果を得ることに成功している。

ABSTRACT

In this paper, we study the null controllability of weakly degenerate coupled parabolic systems with two different diffusion coefficients and one control force. To obtain this aim, we develop first new global Carleman estimates for degenerate parabolic equations with weight functions different from the ones in the previous works.

研究の動機と目的

• 2つの異なる拡散係数 $\alpha_1$ と $\alpha_2$（$\alpha_1 \neq \alpha_2$）を有する弱く退化した結合された放物型系のゼロ制御可能性を扱う。
• 先行研究がカルレマン推定式における指数関数的重み関数の均等な同値性を保証するために $\alpha_1 = \alpha_2$ を必要としていたという制限を克服する。
• 結合された指数 $\beta = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$ から導かれる共通の重み関数 $\varphi(t,x)$ を用いて、退化放物型方程式に対する新たなグローバル・カルレマン推定式を構築する。
• 退化性の解析に不可欠な、負の $\gamma < 1$ に対しても成り立つハーディー＝パオンカーリー不等式を証明する。
• 随伴結合系における観測可能性不等式およびゼロ制御可能性を確立し、最終的に主な制御可能性結果を導く。

提案手法

• カルレマン推定式における指数関数的重み関数の統一を図るため、共通の重み関数 $\varphi(t,x) = \frac{\lambda(x^{2-\beta}-d)}{t^k(T-t)^k}$（$\beta = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$）を提案する。
• $\gamma < 1$ に対して成り立つ新たなハーディー＝パオンカーリー不等式 $\int_0^1 x^{\gamma-2}v^2 dx \leq \frac{4}{(1-\gamma)^2} \int_0^1 x^\gamma v_x^2 dx$ を確立し、$\gamma < 0$ の場合にも適用可能であることを示し、先行研究を拡張する。
• 新しい重み関数と拡張されたハーディー＝パオンカーリー不等式を用いて、退化放物型方程式 $y_t - (x^\alpha y_x)_x = f$ に対するカルレマン推定式を導出する。
• 随伴系にカルレマン推定式を適用し、$\omega \subset (0,1)$ の部分区間における観測可能性不等式を導出する。
• 観測可能性不等式と標準的な双対性の議論を用いて、$\omega$ に作用する1つの制御力のもとでの元の系のゼロ制御可能性を証明する。
• 先行研究の退化系における線形化と不動点法の手法に従い、半線形系への結果の拡張を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの異なる拡散係数 $\alpha_1 \neq \alpha_2$ を有する結合された退化放物型系のゼロ制御可能性を確立できるか？
• RQ2 $\alpha_1 \neq \alpha_2$ の場合に、両方の式を一様に制御できる単一の重み関数をカルレマン推定式に構築できるか？
• RQ3 ハーディー＝パオンカーリー不等式 $\int_0^1 x^{\gamma-2}v^2 dx \leq \frac{4}{(1-\gamma)^2} \int_0^1 x^\gamma v_x^2 dx$ が負の $\gamma < 1$ に対しても成り立つか？
• RQ4 異なる拡散係数を有する一般の結合された退化系の随伴系に対して、観測可能性不等式を導出できるか？
• RQ5 結合係数 $b_{ij}$ および制御領域 $\omega$ にどのような条件が課されれば、系のゼロ制御可能性が保証されるか？

主な発見

• 共通の重み関数 $\varphi(t,x) = \frac{\lambda(x^{2-\beta}-d)}{t^k(T-t)^k}$（$\beta = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$）を用いた、退化放物型方程式に対する新たなカルレマン推定式が確立され、$\alpha_1 \neq \alpha_2$ の場合の解析が可能になった。
• すべての $\gamma < 1$（負の値を含む）に対して、ハーディー＝パオンカーリー不等式 $\int_0^1 x^{\gamma-2}v^2 dx \leq \frac{4}{(1-\gamma)^2} \int_0^1 x^\gamma v_x^2 dx$ が成り立つことが証明され、退化推定式において極めて重要である。
• 随伴系に対して観測可能性不等式が導出された：$\int_0^T \int_0^1 s\Theta e^{2s\varphi} [x^{\alpha_1}U_x^2 + x^{\alpha_2}V_x^2] dxdt \leq C_T \int_0^T \int_\omega U^2 dxdt$。ここで $\varphi$ は上記で定義されたものとする。
• 重み関数が所定の性質（特にハーディー＝パオンカーリー不等式）を満たす限り、元の系 (1.1)–(1.4) のゼロ制御可能性が証明された。
• 線形化と不動点法を用いて、半線形退化結合系に対しても結果を拡張し、より広いクラスの系におけるゼロ制御可能性を保証した。
• 本稿では、強く退化した系（例：$\alpha_i = 1$）のケースを未解決問題として特定し、今後の研究の方向性を示唆している。