[論文レビュー] CARMA Processes driven by Non-Gaussian Noise

Robert Stelzer|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 49被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非ガウス型 Lévy プロセスによって駆動される連続時間自己回帰移動平均（CARMA）過程を開発・分析し、多次元時系列における頑健な重たい尾を持つ現象やジャンプ・ドリフト現象のモデル化を可能にする。理論的基盤、スペクトル表現、および擬似最尤推定によるパrameter推定を確立し、サンプルパスから Lévy プロセスの特徴を正確に回復できることを示している。

ABSTRACT

We present an outline of the theory of certain Lévy-driven, multivariate stochastic processes, where the processes are represented by rational transfer functions (Continuous-time AutoRegressive Moving Average or CARMA models) and their applications in non-Gaussian time series modelling. We discuss in detail their definition, their spectral representation, the equivalence to linear state space models and further properties like the second order structure and the tail behaviour under a heavy-tailed input. Furthermore, we study the estimation of the parameters using quasi-maximum likelihood estimates for the auto-regressive and moving average parameters, as well as how to estimate the driving Lévy process.

研究の動機と目的

• ガウス型ノイズを超えて、多次元時系列における歪度や重たい尾といった非ガウス型特徴をモデル化できるように CARMA プロセスを拡張すること。
• Lévy プロセスによって駆動される CARMA プロセスの厳密な理論的枠組みを確立し、スペクトル表現および線形状態空間モデルとの同等性を含むこと。
• CARMA パrameterおよびその背後にある Lévy プロセスの特徴の両方の統計的推定手法を開発すること。
• ガンマ分布の増分を持つ Lévy プロセスによって駆動される オンホルンシュタイン＝ウーレンブルク過程を用いたシミュレーションスタディを通じて、推定手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 有理ターミナル関数と Lévy プロセス入力を備えた確率的微分方程式の解として、多次元 CARMA プロセスの明示的定義。
• 確率的フーリエ変換を用いたスペクトル表現の導出により、CARMA プロセスと Lévy プロセスの線形フィルタリングとの関連を明確にした。
• CARMA モデルと線形状態空間モデルとの同等性の証明により、効率的な計算と制御理論的解釈が可能になった。
• 一般の Lévy ノイズ下での自己回帰および移動平均パラメータに対する擬似最尤推定（QMLE）の適用。
• 高周波数サンプリングを用いて Lévy 増分を近似し、最大尤度法を用いて駆動する Lévy プロセスの分布を推定する。
• 100本のパスを用いたシミュレーションによる検証：グリッドサイズ h = 0.01、0.1、1 を使用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CARMA プロセスをガウス型ノイズから非ガウス型 Lévy ノイズへ一般化することは、理論的取り扱いやすさとモデルの柔軟性を保ちつつ可能か？
• RQ2 特に重たい尾を持つ入力下での Lévy プロセスによって駆動される CARMA プロセスのスペクトル的性質および2次モーメント性質は何か？
• RQ3 擬似最尤推定は、離散観測から得られる CARMA パラメータおよび駆動する Lévy プロセスの特徴を信頼性高く回復できるか？
• RQ4 重たい尾の存在下でも、CARMA プロセスのサンプルパスから Lévy プロセスの分布はどの程度正確に回復できるか？
• RQ5 推定手順の有限標本的性質は何か？また、サンプリング周波数に依存するか？

主な発見

• 擬似最尤推定法により、非ガウス型 Lévy ノイズによって駆動される CARMA プロセスの自己回帰および移動平均パラメータが成功裏に推定された。
• h = 0.01 でサンプリングした場合、標準化されたガンマプロセスのパラメータ γ の推定値は平均 2.0039、標準誤差 0.0314 であり、高い精度が得られた。
• h = 0.01 から h = 1 にサンプリンググリッドサイズを増加させたことで、γ 推定子の標準誤差は 0.0314 から 0.0539 に上昇し、サンプリング周波数に敏感であることが示された。
• 100本のシミュレートされたパスの平均化により、推定された Lévy 増分密度が真の密度と非常に近づき、視覚的にほぼ完全一致を達成した。
• 単一パスおよび複数パスの統合シミュレーションにおいて、推定密度と理論的密度の一致が良好であったことから、この手法は真の背後にある Lévy プロセス分布を効果的に回復できることを示している。
• シミュレーションスタディにより、高周波数サンプリングが、重たい尾を持つ分布に対しても非パラメトリックおよびパラメトリック推定を正確に可能にすることが確認された。