[論文レビュー] Carrollian hydrodynamics and symplectic structure on stretched horizons

Laurent Freidel, Puttarak Jai-akson|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2022

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、カルロリアン流体力学とシンプレクティック幾何学を用いて、一般相対性理論における時空的に引き伸ばされたホライズンと光的ホライズンの記述を統一する。超曲面に対するリギング技法を用いることで、引き伸ばされたホライズン上の重力自由度とカルロリアン流体変数の間の幾何的辞書を確立し、ホライズン上でのアインシュタイン方程式がカルロリアン流体力学の保存則に還元されることを示す。また、事前シンプレクティックポテンシャルとノネル作用素は、すべて流体の共轭変数で表現される。

ABSTRACT

The membrane paradigm displays underlying connections between a timelike stretched horizon and a null boundary (such as a black hole horizon) and bridges the gravitational dynamics of the horizon with fluid dynamics. In this work, we revisit the membrane viewpoint of a finite distance null boundary and present a unified geometrical treatment to the stretched horizon and the null boundary based on the rigging technique of hypersurfaces. This allows us to provide a unified geometrical description of null and timelike hypersurfaces, which resolves the singularity of the null limit appearing in the conventional stretched horizon description. We also extend the Carrollian fluid picture and the geometrical Carrollian description of the null horizon, which have been recently argued to be the correct fluid picture of the null boundary, to the stretched horizon. To this end, we draw a dictionary between gravitational degrees of freedom on the stretched horizon and the Carrollian fluid quantities and show that Einstein's equations projected onto the horizon are the Carrollian hydrodynamic conservation laws. Lastly, we report that the gravitational pre-symplectic potential of the stretched horizon can be expressed in terms of conjugate variables of Carrollian fluids and also derive the Carrollian conservation laws and the corresponding Noether charges from symmetries.

研究の動機と目的

• リギング技法に基づく共通の枠組みを用いて、時空的引き伸ばしホライズンと光的ホライズンの幾何的記述を統一すること。
• 従来は光的ホライズンにのみ適用されていたカルロリアン流体像を、有限距離に位置する引き伸ばしホライズンへと拡張すること。
• 引き伸ばしホライズン上の重力変数とエネルギー密度、運動量フラックス、粘性係数などのカルロリアン流体量との間の明確な対応関係を確立すること。
• 引き伸ばしホライズンに射影されたアインシュタイン方程式が、カルロリアン流体力学の保存則に等価であることを示すこと。
• シンプレクティック構造に基づき、重力理論のシンプレクティック構造を用いて引き伸ばしホライズン上の事前シンプレクティックポテンシャルとノネル作用素を導出し、それらを流体の共轭変数で表現すること。

提案手法

• 時空的および光的超曲面の両方に対して一貫した幾何的構造を定義するため、リギング技法を用いることで、従来の引き伸ばしホライズン記述における特異極限を解消する。
• 誘導された計量、リギング微分、リギング接続を導入し、引き伸ばしホライズン上での共変微分と曲率を定義することで、一貫した幾何的取り扱いを可能にする。
• アインシュタイン＝ヒルベルト作用から引き伸ばしホライズン上の重力的事前シンプレクティックポテンシャルを射影し、エネルギー密度や運動量フラックスなどの流体共轭変数で表現する。
• 外在的曲率、せん断、発散をカルロリアン流体変数（ストレステンソルや電流密度など）に写像することで、流体-重力対応辞書を確立する。
• 共変位相空間形式を用いて、接続対称性に関連するノネル作用素を導出し、それが保存される流体量に対応することを示す。
• ライブニッツ則と幾何的恒等式を用いて、誘導計量および接続の変動を簡略化し、最終的な事前シンプレクティックポテンシャルを流体変数で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 引き伸ばしホライズンと光的ホライズンの幾何的記述を、共通の数学的枠組みで統一するにはどうすればよいか？
• RQ2 引き伸ばしホライズン上の重力自由度とカルロリアン流体変数との間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 引き伸ばしホライズンに射影されたアインシュタイン方程式は、どのようにカルロリアン流体力学の保存則に還元されるか？
• RQ4 引き伸ばしホライズン上の重力的事前シンプレクティックポテンシャルは、カルロリアン流体の共轭変数で表現可能か？
• RQ5 引き伸ばしホライズン上での接線的微分同相変換に対するノネル作用素は、カルロリアン流体像における保存量とどのように関係するか？

主な発見

• 引き伸ばしホライズン上の事前シンプレクティックポテンシャルは、エネルギー密度、運動量フラックス、計量の変動を含む、カルロリアン流体共轭変数で完全に表現される。
• 引き伸ばしホライズンに射影されたアインシュタイン方程式は、カルロリアン流体の保存則に等価であり、ストレステンソルと電流密度が流体の流体力学的量と一致する。
• 表面重力の変動 δκ が幾何的量の変動から自然に生じることを示し、流体像と整合性があることを確認した。
• 引き伸ばしホライズン上での接線的微分同相変換に関連するノネル作用素は、シンプレクティック構造から導出し、保存される流体作用素と一致する。
• シンプレクティックポテンシャルには (δα - δᾱ)/2 に比例する項が含まれており、これはホライズンの面積形式の変動に対応し、流体のエントロピーに類似た変数と関連する。
• 導出により、引き伸ばしホライズン上の重力的力学が完全にカルロリアン流体力学と等価であることが確認され、幾何的変数と流体変数との間の完全な辞書が確立された。