[論文レビュー] Cartan Connections Associated to a $β$-Conformal Change in Finsler Geometry

S. H. Abed|ArXiv.org|Jan 17, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般化された $\beta$-共形変換 $\overline{L} = e^{\sigma(x)}L + \beta(x,y)$ の下で、Finsler多様体上のカルタン接続と基本的幾何的対象（スプレー、非線形接続、ねじれテンソル）の関係を明示的な公式で導出する。この変換は、共形変換、$\beta$-変換、ランダース型変換を統一する。主な貢献は、元のカルタン接続と変換後のカルタン接続の差分テンソルの閉じた形の表現であり、松本、柴田、橋口らの結果を一般化する。

ABSTRACT

On a Finsler manifold $(M,L)$, we consider the change $L\longrightarrow\bar{L}(x,y)=e^{σ(x)}L(x,y)+β(x,y)$, which we call a $β$-conformal change. This change generalizes various types of changes in Finsler geometry: conformal, $C$-conformal, $h$-conformal, Randers and generalized Randers changes. Under this change, we obtain an explicit expression relating the Cartan connection associated to $(M,L)$ and the transformed Cartan connection associated to $(M,\bar{L})$. We also express some of the fundamental geometric objects (canonical spray, nonlinear connection, torsion tensors, ...etc.) of $(M,\bar{L})$ in terms of the corresponding objects of $(M,L)$. We characterize the $β$-homothetic change and give necessary and sufficient conditions for the vanishing of the difference tensor in certain cases. It is to be noted that many known results of Shibata, Matsumoto, Hashiguchi and others are retrieved as special cases from this work.

研究の動機と目的

• 一般化された $\beta$-共形変換 $\overline{L} = e^{\sigma(x)}L + \beta(x,y)$ を導入することで、Finsler幾何における幾何的変化を統一的に分析するフレームワークを確立すること。
• この変換の下で、元の接続係数を用いて変換後のカルタン接続係数の明示的表現を導出すること。
• 元のFinsler構造と変換後のFinsler構造の間で、基本的幾何的対象（標準スプレー、非線形接続、ねじれテンソル）を関連付けること。
• $\beta$-同測変換の特徴づけと、カルタン接続の差分テンソルが消える条件を特定すること。
• 松本、柴田、橋口らの既知の結果を、この統一的変換の特殊ケースとして回収・一般化すること。

提案手法

• スカラー関数 $\sigma$ と1次形式 $\beta = b_i y^i$ を用いて、一般化された $\beta$-共形変換 $\overline{L} = e^{\sigma(x)}L + \beta(x,y)$ を導入し、共形変換、$\beta$-変換、ランダース変換を一般化する。
• 正規化された補助要素 $\overline{L}_i = e^{\sigma}L_i + b_i$ と角計量テンソル $\overline{h}_{ij} = e^{\sigma}h_{ij}$ の変換則を導出する。
• $\sigma$ と $b_i$ を用いて定義される中間的テンソル $D_{0j}^i$、$E_{ij}$、$F_{ij}$ を通じて、差分テンソル $D_{jk}^i$ を計算する。
• カルタン接続係数の基本的変換公式 $\overline{\Gamma}_{jk}^i = \Gamma_{jk}^i + D_{jk}^i$ を確立し、$D_{jk}^i$ が $\sigma$、$b_i$ 及びその微分を用いて明示的に与えられることを示す。
• 水平共変微分 $X_{j}^{i}|_k = \delta_k X_j^i + X_j^r \Gamma_{rk}^i - X_r^i \Gamma_{jk}^r$ を用いて、曲率およびねじれの変換を表現する。
• $\mathfrak{U}_{j,k}(Q_{jk}) = Q_{jk} - Q_{kj}$ 操作を適用し、リーマン曲率テンソルの反対称化された関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された $\beta$-共形変換 $\overline{L} = e^{\sigma(x)}L + \beta(x,y)$ の下で、カルタン接続はどのように変化するか？
• RQ2 変換後の標準スプレー、非線形接続、ねじれテンソルの明示的表現は、元の幾何的対象を用いてどのように与えられるか？
• RQ3 元のカルタン接続と変換後のカルタン接続の差分テンソル $D_{jk}^i$ が恒等的に消える条件は何か？
• RQ4 $\beta$-共形変換が $\beta$-同測変換であるとはどのような状況か？また、$b_i$ がカルタン平行であることと $D_{jk}^i$ の消える条件との関係は？
• RQ5 共形変換、$\beta$-変換、ランダース変換の既知の結果が、この一般化されたフレームワークの特殊ケースとしてどのように導かれるか？

主な発見

• 変換後のカルタン接続係数は $\overline{\Gamma}_{jk}^i = \Gamma_{jk}^i + D_{jk}^i$ を満たし、$D_{jk}^i$ は式 (3.23)、(3.30)、(3.18) を用いて $\sigma$、$b_i$ 及びその微分を用いて明示的に表現される。
• 差分テンソル $D_{jk}^i$ が恒等的に消えるのは、$\sigma$ が同測的（すなわち $\sigma_i = 0$）かつ $b_i$ がカルタン平行であるときであり、これは定理Bで示されている。
• 共形の場合（$\beta = 0$）では、$D_{jk}^i = 0$ となるのは $\sigma$ が同測的であるときであり、これは文献に既知の結果を回復する。
• $\beta$-変換の場合（$\sigma = 0$）では、$D_{jk}^i = 0$ となるのは $b_i$ がカルタン平行であるときであり、これは松本の結果を一般化する。
• ねじれテンソルは $\overline{C}_{jk}^i = C_{jk}^i + A_{jk}^i$、$\overline{P}_{jk}^i = P_{jk}^i - D_{jk}^i + B_{jk}^i$、$\overline{R}_{jk}^i = R_{jk}^i + \mathfrak{U}_{j,k}(D_{0j|k}^i - (B_{jr}^i + P_{jr}^i)D_{0k}^r)$ と変換され、$A_{jk}^i$、$B_{jk}^i$、$D_{jk}^i$ は論文で定義されている。
• （v）hv-ねじれテンソルは $\overline{P}_{hjk} = \tau P_{hjk} - \frac{\tau L}{2}[L_{hjkr}D_{00}^r + L_{hjr}D_{0k}^r + L_{hkr}D_{0j}^r + L_{jkr}D_{0h}^r - \sigma_0 L_{hjk}]$ と変換され、ここで $\tau = e^{\sigma}$ である。