[論文レビュー] Cartan Decomposition of SU(2^n), Constructive Controllability of Spin systems and Universal Quantum Computing

Navin Khaneja, Steffen J. Glaser|ArXiv.org|Oct 29, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 10被引用数 34

ひとこと要約

本稿では、SU(2^n)のカルタン分解に基づき、任意のn量子ビットユニタリ変換を単一および二量子ビット量子ゲートのみで構成的に分解する手法を提示する。対称空間SU(2^n)/[SU(2^{n-1})⊗SU(2^{n-1})⊗U(1)]に再帰的に応用することで、普遍的量子計算およびNMR量子制御のための幾何学的で明示的なパルス列設計が可能となり、スピン系における時間最適性および可制御性に影響を与える。

ABSTRACT

In this paper we provide an explicit parameterization of arbitrary unitary transformation acting on n qubits, in terms of one and two qubit quantum gates. The construction is based on successive Cartan decompositions of the semi-simple Lie group, SU(2^n). The decomposition highlights the geometric aspects of building an arbitrary unitary transformation out of quantum gates and makes explicit the choice of pulse sequences for the implementation of arbitrary unitary transformation on $n coupled spins. Finally we make observations on the optimality of the design procedure.

研究の動機と目的

• 任意のn量子ビットユニタリ変換を、単一および二量子ビット量子ゲートのみを用いて構成的かつ幾何学的に合成するための手法を提供すること。
• SU(2^n)の幾何的構造とNMR量子計算における時間最適パルス列設計の間の関係を確立すること。
• SU(2)のオイラー角分解を、再帰的カルタン分解を用いて高次元のSU(2^n)に一般化すること。
• 直接的なn量子ビット相互作用が存在しない場合でも、線形に結合されたスピンネットワークにおける構成的可制御性を示すこと。
• 将来の研究における時間最適制御および多量子ビット量子系におけるパrameterization変換の基盤を築くこと。

提案手法

• 本手法は、リーマン対称空間SU(2^n)/[SU(2^{n-1})⊗SU(2^{n-1})⊗U(1)]におけるSU(2^n)のカルタン分解を用いる。任意のW ∈ SU(2^n)をW = K₁AK₂と分解する。
• K₁およびK₂は、SU(2^{n-1})⊗SU(2^{n-1})⊗U(1)の元であり、局所的およびエンタングリング操作を表す。一方、Aは対称空間のカルタン部分代数hの指数写像に属する。
• K₁およびK₂に対して再帰的に分解を適用することで、1量子ビットおよび2量子ビット操作のシーケンスに問題を還元する。
• SU(2^n)のリー群構造に基づく構成であり、SU(4)ゲートの生成子がSU(2^n)のリー代数を張ることを活用する。
• パルス列は分解から導出され、カルタン部分代数の要素に対応するハミルトニアンの下での時間発展に対応する。
• 線形に結合されたスピン鎖におけるNMR系の検証により、任意のユニタリ伝達演算子が、局所的パルスと2スピン結合のみを用いて合成可能であることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のn量子ビットユニタリ変換を、単一および二量子ビット量子ゲートのみを用いて明示的に構成可能か？
• RQ2 SU(2^n)の幾何的構造をどのように活用して、時間最適かつ構成的なパルス列を量子制御のための設計に応用できるか？
• RQ3 リーマン対称空間SU(2^n)/[SU(2^{n-1})⊗SU(2^{n-1})⊗U(1)]は、多量子ビットゲートの再帰的分解をどのように可能にするか？
• RQ4 直接的なn量子ビット相互作用が存在しないスピンネットワークにおいて、構成的可制御性はどのような条件下で達成可能か？
• RQ5 異なるSU(2^n)のパrameterization（特にオイラー角型とカルタンに基づく分解）は、どのように互いに変換可能か？

主な発見

• 本稿では、任意のユニタリ演算子を1量子ビットおよび2量子ビット操作の積として表す、構成的かつ再帰的なカルタン分解をSU(2^n)に確立した。
• 分解は、対称空間構造が系統的なパルス列合成を可能にする、量子ゲート設計の幾何的フレームワークを明らかにした。
• 任意の連結された結合スピンネットワーク、特に最近隣接相互作用しか許されない線形結合スピン鎖においても、構成的可制御性が証明された。
• 本手法は、局所的1量子ビットゲートと2量子ビットエンタングリングゲートのみを用いて、任意のn量子ビットユニタリ変換を実装する一般アルゴリズムを提供する。
• 2量子ビット系では本手法が時間最適であるが、より大きなスピン系への時間最適性の拡張には、幾何的制御理論におけるさらなる発展が必要である。
• 本フレームワークは、NMR量子計算および多次元スペクトロスコピーにおけるコher-ence転送の明示的パルス列設計を可能にし、デコherenceを最小限に抑える実用的意義を持つ。