[論文レビュー] Cartan structure equations and Levi-Civita connection in braided geometry

Paolo Aschieri|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2020

Advanced Topics in Algebra被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、三角的ホップ代数作用を備えたブレード可換代数における非可換リーマン幾何の枠組みを確立し、左接続および右接続を用いたカルタン構造方程式およびビアンキ恒等式の新規定式化を導入する。任意のブレード対称擬リーマン計量に対して、特徴的な微分作用素や双代数的接続を必要とせずに、レヴィチビタ接続の存在および一意性を証明する。

ABSTRACT

We study the differential and Riemannian geometry of algebras $A$ endowed with an action of a triangular Hopf algebra $H$ and noncomutativity compatible with the associated braiding. The modules of one forms and of braided derivations are modules in a compact closed category of $H$-modules $A$-bimodules, whose internal morphisms correspond to tensor fields. Different approaches to curvature and torsion are proven to be equivalent by extending the Cartan calculus to left (right) $A$-module connections. The Cartan structure equations and the Bianchi identities are derived. Existence and uniqueness of the Levi-Civita connection for arbitrary braided symmetric pseudo-Riemannian metrics is proven.

研究の動機と目的

• 三角的ホップ代数作用とブレード可換性を備えた代数のための整合的な微分幾何およびリーマン幾何の構築。
• 双代数的接続や中心制限付き計量の制限を克服するため、A-双代数上の左および右接続を用いる。
• H-不変計量や特徴的な微分作用素を仮定せずに、ブレード的設定におけるカルタン構造方程式およびビアンキ恒等式の導出。
• 非変形微分作用素が存在しない状況下で、計量適合性および torsion-free 条件を満たす接続に対する Koszul 型公式の確立。
• Koszul 型公式を用いて、H-加群のブレード圏におけるリッチテンソル、スカラー曲率、およびアインシュタイン空間を定義し、非可換重力モデルを可能にする。

提案手法

• H-加群およびA-双代数のコンパクト閉圏を用いて、内部自己準同型をテンソル場として定義する。
• 1-形式のモジュール上に左および右接続を導入し、余微分作用素と右接続の合成として共変微分を定義する。
• 曲率と torsion の定式化を統一するため、ブレードカルタン関係式 $[ \nabla_u, \text{i}_v ] = \text{i}_{[u,v]}$ を導出する。
• 圏の双対性を用いてトレースおよび曲率の縮約を定義し、リッチテンソルおよびスカラー曲率の構成を可能にする。
• Koszul 公式を演算子 $K_{\text{g}}$ を通じて用い、計量適合性および torsion-free 条件からレヴィチビタ接続を導出する。
• 計量のブレード対称性および共評価写像を用いて、導出された接続の計量適合性および torsion-free 性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブレード非可換幾何におけるカルタン構造方程式およびビアンキ恒等式を一貫的に定式化する方法は何か？
• RQ2 特徴的な微分作用素を仮定せずに、任意のブレード対称擬リーマン計量に対してレヴィチビタ接続が一意かつ存在的に定義可能か？
• RQ3 左および右接続は非可換設定における曲率と torsion の統合に果たす役割は何か？
• RQ4 コンパクト閉圏におけるH-加群のカテゴリでリッチテンソルおよびスカラー曲率を代数的に定義する方法は何か？
• RQ5 この枠組みで真空中のアインシュタイン方程式を定式化可能か？非可換アインシュタイン空間の条件は何か？

主な発見

• 任意の有限生成射影モジュール上のブレード対称擬リーマン計量に対して、レヴィチビタ接続は存在し、一意的である。
• Koszul 公式およびブレードカルタン関係式を用いて、接続が計量適合性および torsion-free であることが証明された。
• ブレードカルタン計算および双対構造のおかげで、曲率テンソルと torsion テンソルは異なる定式化において等価である。
• リッチテンソルは、コンパクト閉圏における共評価写像を介したリーマン曲率のトレースとして定義される。
• スカラー曲率は、ペアリングによって誘導される同型を用いて定義される逆計量とリッチテンソルの縮約によって得られる。
• 非可換アインシュタイン空間は、条件 $\text{Ric} = \lambda \langle \cdot, \mathsf{g} \rangle$ によって定義され、古典的アインシュタイン方程式をブレード的設定に一般化する。