[論文レビュー] Cartan subalgebras in C*-algebras

Jean Renault|ArXiv.org|Mar 15, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、忠実な条件付き期待値を許容する正則で最大の可換自己随伴部分代数としてCartan部分代数を定義することにより、Feldman-Moore定理のC*-代数的類似を提示する。すべてのこのようなCartan部分代数は、本質的に主、ハウスドルフ、é tale群ガロアに付随するねじれを伴うものから生じることを確立し、Kumjianの以前の結果を一般化し、グラフ代数や葉層代数への適用範囲を拡大する。

ABSTRACT

According to J. Feldman and C. Moore's well-known theorem on Cartan subalgebras, a variant of the group measure space construction gives an equivalence of categories between twisted countable standard measured equivalence relations and Cartan pairs, i.e. a von Neumann algebra (on a separable Hilbert space) together with a Cartan subalgebra. A. Kumjian gave a C*-algebraic analogue of this theorem in the early eighties. After a short survey of maximal abelian self-adjoint subalgebras in operator algebras, I present a natural definition of a Cartan subalgebra in a C*-algebra and an extension of Kumjian's theorem which covers graph algebras and some foliation algebras.

研究の動機と目的

• グラフ代数や葉層から生じるような非主群ガロアを含めるように、KumjianのC*-対角理論を拡張すること。
• Kumjianの元々の定理が非自明な安定化部分群を有する代数では失敗することを補償するため、より広いクラスのCartan部分代数を導入すること。
• C*-代数におけるCartan部分代数と本質的に主、ハウスドルフ、é tale群ガロアにねじれを伴うものとの間のカテゴリカル同値関係を確立すること。
• 一意的拡張性の性質が群ガロアの主性とどのように関連するかを明確にすること。
• 連続的トレースを有するC*-代数におけるCartan部分代数とDixmier-Douady不変量との関係を調査すること。

提案手法

• C*-代数におけるCartan部分代数を、正則で忠実な条件付き期待値を許容するマサとして定義する新規定義を導入する。
• 群ガロアC*-代数構成を用いて、本質的に主、ハウスドルフ、é tale群ガロアにねじれを伴うものの、縮小C*-代数を実現する。
• このような群ガロアの単位空間上の連続関数の部分代数がCartan部分代数であることを証明する。
• 双対性および群ガロアコホホロジー技法を用いて、すべてのCartan部分代数がこのような群ガロアとねじれから生じることを示す。
• Pedersenのイデアルと軌道空間解析を用いて、Cartan部分代数が一意的拡張性を有する条件を特徴付ける。
• 群ガロアコホホロジーを通じて、連続的トレースを有するC*-代数におけるCartan部分代数に付随するねじれとDixmier-Douady不変量との関係を関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非主群ガロアを含むFeldman-Moore定理のC*-代数的類似を定式化することは可能か？
• RQ2 C*-代数がCartan部分代数を有するのはどのような条件下か、またそれが一意的であるのはいつか？
• RQ3 群ガロアに非自明な安定化部分群が存在する場合、マサと条件付き期待値の構造にどのような影響を与えるか？
• RQ4 連続的トレースを有するC*-代数におけるCartan部分代数に付随するねじれとDixmier-Douady不変量との関係は何か？
• RQ5 H^3(T, Z)におけるすべてのČechコホモロジー類が、Cartan部分代数を有するC*-代数のDixmier-Douady不変量として実現可能か？

主な発見

• C*-代数におけるCartan部分代数は、正則で忠実な条件付き期待値を許容するマサとして定義される。
• 本質的に主、ハウスドルフ、é tale群ガロアにねじれを伴うものの、単位空間上の連続関数の部分代数はCartan部分代数である。
• すべてのCartan部分代数は、このような群ガロアとねじれから生じる。これにより完全な同型不変量が確立される。
• Cartan部分代数が一意的拡張性を有するのは、対応する群ガロアが主であるときかつそのときに限る。
• 連続的トレースを有するC*-代数においては、Cartan部分代数が存在するのは、関連するベクトル束が直線束に分解可能である場合に限る。これは常に可能というわけではない。
• 連続的トレースを有するC*-代数におけるCartan部分代数に付随するねじれは、群ガロアコホホロジーを通じてDixmier-Douady不変量に対応する。